${\displaystyle D^{n}y=0}$ の一般解

${\displaystyle D^{n}y=0}$ の一般解は

${\displaystyle y=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}}$  

となる．

■導出

${\displaystyle y}$ は ${\displaystyle x}$ の関数とする．

${\displaystyle D^{n}y=0}$ 

は微分演算子の定義より

${\displaystyle \frac{d^{n}y}{d{x}^n}=0}$  ･･････(1)

と書き換えられる．さらに(1)式は

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}\right)=0}$  ･･････(2)

となる．

(2)は ${\displaystyle \frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}}$ を微分したものが0となることを意味する．よって

${\displaystyle \frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}=c_{n-1}}$  ･･････(3)　　　(${\displaystyle c_{n-1}}$ は任意定数)

となる．

(3)は積分をすると

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-2}y}{d{x}^{n-2}}\right)=c_{n-1}}$  ･･････(4)

となる．

つまり(4)式は

${\displaystyle \frac{d^{n-2}y}{d{x}^{n-2}}=c_{n-2}+c_{n-1}x}$  　　 (${\displaystyle c_{n-2}}$ は任意定数)

となる．

同様の操作を繰り返すと

${\displaystyle y=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}}$  　　(${\displaystyle c_0}$， ${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ ，･･･，${\displaystyle c_{n-1}}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2024年5月17日