同次形微分方程式

微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)}$

を同次形という．この方程式の右辺は ${\displaystyle \frac{y}{x}}$  の関数である．

■同次形微分方程式の解法

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$  すなわち${\displaystyle y=xv}$  とすると(1)式は

${\displaystyle \frac{d}{dx}(xv)=f\left(v\right)}$  ･･････(2)

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(xv\right)}$ は積の微分より

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(xv\right)=\left(\frac{d}{dx}x\right)v+x\frac{dv}{dx}}$${\displaystyle =v+x\frac{dv}{dx}}$  

となり，(2)式は次のようになる．

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=f\left(v\right)}$  

よって

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=f\left(v\right)-v}$  

この式は変数分離形であるので，次のように変数を分離すると

${\displaystyle \frac{1}{f\left(v\right)-v}dv=\frac{1}{x}dx}$  

となる．両辺を積分した後，  ${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$  を代入すると一般解を求めることができる．

 

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　最終更新日： 2023年6月9日