式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)g\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{\frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{g\left(D\right)}\left\{\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$

■導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)g\left(D\right)}F\left(x\right)=y}$　･･････(1)

とおく．

(1)の関係を微分演算子 ${\displaystyle f\left(D\right)g\left(D\right)}$ を使って表すと

${\displaystyle f\left(D\right)g\left(D\right)y=F\left(x\right)}$　･･････(2)

となる．

(2)を以下のように書きかえる．

$f\left(D\right)\left\{g\left(D\right)y\right\}=F\left(x\right)$　　(微分演算子の積を参照)

${\displaystyle g\left(D\right)y=\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$　　(逆演算子を参照を参照)

${\displaystyle y=\frac{1}{g\left(D\right)}\left\{\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$　･･････(3)

また，(2)は以下のように書きかえることもできる．

${\displaystyle g\left(D\right)f\left(D\right)y=F\left(x\right)}$　　(微分演算子の交換則を参照を参照)

${\displaystyle g\left(D\right)\left\{f\left(D\right)y\right\}=F\left(x\right)}$　　(微分演算子の積を参照)

${\displaystyle f\left(D\right)y=\frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)}$　　(逆演算子を参照を参照)

${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{\frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$　･･････(4)

(1)，(3)，(4)より

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)g\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{\frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{g\left(D\right)}\left\{\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$

が成り立つ，

 

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最終更新日： 2024年10月7日