逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}sinax その1

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}sinax その1

1 D 2 + a 2 sinax= 1 2a xcosax

■導出その1

Y= 1 D 2 + a 2 e iax  ・・・・・・(1)

とおく. D 2 + a 2 =( Dia )( D+ia )  と因数分解できるので,

Y = 1 ( D i a ) ( D + i a ) e i a x  

= 1 D i a 1 D + i a e i a x  

= 1 D i a [ 1 D + i a e i a x ]  

逆演算子の公式

1 f( D ) e ax = 1 f( a ) e ax  詳細

を利用すると

Y = 1 D i a 1 i a + i a e i a x  

= 1 2 i a 1 D i a e i a x  

逆演算子の公式

1 Da F( x )= e ax e ax F( x )dx  詳細

を利用すると

Y = 1 2 i a e i a x e i a x e i a x d x  

= 1 2 i a e i a x d x  

= 1 2 i a x e i a x  ・・・・・・(2) 

ここでオイラーの公式

e ix =cosx+isinx  

を利用すると,(2)式は次のように変形できる.

Y = 1 2 i a x ( cos a x + i sin a x )  

= 1 2 a i x ( cos a x + i sin a x )  

= 1 2 a x sin a x i 1 2 a x cos a x  

また(1)式はオイラーの公式より

Y= 1 D 2 + a 2 ( cosax+isinax )  

なので

1 D 2 + a 2 cosax+i 1 D 2 + a 2 sinax = 1 2a xsinaxi 1 2a xcosax  

となる.

よって,虚部に注目すると,

1 D 2 + a 2 sinax= 1 2a xcosax  

 

導出その2はこちら

導出その3はこちら

 

 

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最終更新日: 2023年6月9日