式の導出

$\int x e^{i 2 a x} d x$ の積分

この式を次のように置き換えて，部分積分をする．

$\int x e^{i 2 a x} d x$	$= {\int (\frac{1}{i 2 a} e^{i 2 a x})}^{'} x d x$
	$= \frac{1}{i 2 a} e^{i 2 a x} x - \int \frac{1}{i 2 a} e^{i 2 a x} d x$

次に $\int \frac{1}{i 2 a} e^{i 2 a x} d x$ を置換積分する．

$t = i 2 a x$ とおくと

$\frac{d t}{d x} = i 2 a$

$d x = \frac{d t}{i 2 a}$

よって

$\int \frac{1}{i 2 a} e^{i 2 a x} d x$ $= \int \frac{1}{i 2 a} e^{t} \frac{d t}{i 2 a}$

$= \int \frac{1}{{(i 2 a)}^{2}} e^{t} d t$ 　　 $(∵ i^{2} = - 1)$

$= - \frac{1}{4 a^{2}} e^{t}$

$= - \frac{1}{4 a^{2}} e^{i 2 a x}$

したがって

$\int x e^{i 2 a x} d x = - \frac{i}{2 a} e^{i 2 a x} x + \frac{1}{4 a^{2}} e^{i 2 a x}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日