逆演算子の計算順序変更

逆演算子の計算順序を変更すると，計算結果が異なる場合がある．

■計算結果が一致する場合

逆演算子の公式

$\frac{1}{D - α} F (x) = e^{α x} \int e^{- α x} F (x) d x$ ⇒詳細

部分積分

$\int f (x) g^{'} (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

などを使って次の2種類の計算を行う．

$\frac{1}{(D + 3) (D - 2)} x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int x e^{- 2 x} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int x {(- \frac{1}{2} e^{- 2 x})}^{'} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x}$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x})$

$= \frac{1}{D + 3} (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{4})$

$= - \frac{1}{2} \frac{1}{D + 3} (x + \frac{1}{2})$

$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} \int e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) d x$

$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} \int {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} (x + \frac{1}{2}) d x$

$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} {\frac{1}{3} e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x}$

$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} {\frac{1}{3} e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{9} e^{3 x}}$

$= - \frac{1}{6} {(x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}}$

$= - \frac{1}{6} (x + \frac{1}{6})$

$\frac{1}{(D - 2) (D + 3)} x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int x {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} d x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int x e^{3 x} d x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})$

$= \frac{1}{D - 2} (\frac{1}{3} x - \frac{1}{9})$

$= \frac{1}{3} \frac{1}{D - 2} (x - \frac{1}{3})$

$= \frac{1}{3} e^{2 x} \int e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) d x$

$= \frac{1}{3} e^{2 x} \int {(- \frac{1}{2} e^{- 2 x})}^{'} (x - \frac{1}{3}) d x$

$= \frac{1}{3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x}$

$= \frac{1}{3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{4} e^{- 2 x}}$

$= - \frac{1}{6} {(x - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}}$

$= - \frac{1}{6} (x + \frac{1}{6})$

この場合は順序を逆にしても答えが一致する．次の場合も答えは一致する．

$\frac{1}{(D + 3) (D - 2)} e^{x}$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int e^{- 2 x} e^{x} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int e^{- x} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} (- e^{- x})$

$= - \frac{1}{D + 3} e^{x}$

$= - e^{- 3 x} \int e^{3 x} e^{x} d x$

$= - e^{- 3 x} \int e^{4 x} d x$

$= - e^{- 3 x} (\frac{1}{4} e^{4 x})$

$= - \frac{1}{4} e^{x}$

$\frac{1}{(D - 2) (D + 3)} e^{x}$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int e^{3 x} e^{x} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int e^{- x} d x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} (\frac{1}{4} e^{4 x})$

$= \frac{1}{4} \frac{1}{D - 2} e^{x}$

$= \frac{1}{4} e^{2 x} \int e^{- 2 x} e^{x} d x$

$= \frac{1}{4} e^{2 x} \int e^{- x} d x$

$= \frac{1}{4} e^{2 x} (- e^{- x})$

$= - \frac{1}{4} e^{x}$

■計算結果が一致しない場合

次の場合は順序を逆にすると，答えが一致しない．

$\frac{1}{(D + 3) (D - 2)} e^{2 x}$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int e^{- 2 x} e^{2 x} d x$

$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int d x$

$= \frac{1}{D + 3} x e^{2 x}$

$= e^{- 3 x} \int e^{3 x} x e^{2 x} d x$

$= e^{- 3 x} \int x e^{5 x} d x$

$= e^{- 3 x} \int x {(\frac{1}{5} e^{5 x})}^{'} d x$

$= e^{- 3 x} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

$= e^{- 3 x} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x})$

$= \frac{1}{5} e^{2 x} (x - \frac{1}{5})$

$= \frac{1}{5} x e^{2 x} - \frac{1}{25} e^{2 x}$

$\frac{1}{(D - 2) (D + 3)} e^{2 x}$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int e^{3 x} e^{2 x} d x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int e^{5 x} d x$

$= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \frac{1}{5} e^{5 x}$

$= \frac{1}{5} \frac{1}{D - 2} e^{2 x}$

$= \frac{1}{5} e^{2 x} \int e^{- 2 x} e^{2 x} d x$

$= \frac{1}{5} e^{2 x} \int d x$

$= \frac{1}{5} x e^{2 x}$

$- \frac{1}{25} e^{2 x}$ は $(D + 3) (D - 2) y = 0$ の一般解に含まれる．

よって特殊解としては $- \frac{1}{25} e^{2 x}$ を省略することができる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の計算順序変更

学生スタッフ作成
最終更新日2024年2月19日