必要十分条件の証明

■必要条件の証明

${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$ が完全微分方程式であるとすれば，${\displaystyle du=Pdx+Qdy}$ となる関数${\displaystyle u\left(x,y\right)}$ が存在する．

${\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy}$  

より

${\displaystyle P=\frac{\partial u}{\partial x}}$  ，${\displaystyle Q=\frac{\partial u}{\partial y}}$

である．

${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}}$  ･･････(1)

${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}}$  ･･････(2)

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}}$  ･･････(3)　　(偏微分の順序交換より)

(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$  

となる．

以上より

${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$ が完全微分方程式であれば${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$ が成り立つ．

 

■十分条件の証明

${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$  が成り立つとする．

${\displaystyle F\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(t,y\right)dt}}$  

${\displaystyle G\left(y\right)={\displaystyle {\int }_a^{y}Q\left(a,s\right)ds}}$

とし

${\displaystyle u\left(x,y\right)=F\left(x,y\right)+G\left(y\right)}$  

とおく．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left\{F\left(x,y\right)+G\left(y\right)\right\}}$  

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}F\left(x,y\right)}$  

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}{\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(t,y\right)dt}}$  

${\displaystyle =P\left(x,y\right)}$  

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left\{F\left(x,y\right)+G\left(y\right)\right\}}$  

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}F\left(x,y\right)+\frac{\partial }{\partial y}G\left(y\right)}$  

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(t,y\right)dt}+\frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle {\int }_a^{y}Q\left(a,s\right)ds}}$  

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_a^x\frac{\partial }{\partial y}P\left(t,y\right)dt}+Q\left(a,y\right)}$　　(微分と積分の順序交換より)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}P\left(t,y\right)=\frac{\partial }{\partial t}Q\left(t,y\right)}$  より

     ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_a^x\frac{\partial }{\partial t}Q\left(t,y\right)dt}+Q\left(a,y\right)}$  

     ${\displaystyle ={\left[Q\left(t,y\right)\right]}_a^x+Q\left(a,y\right)}$  

     ${\displaystyle =Q\left(x,y\right)-Q\left(a,y\right)+Q\left(a,y\right)}$  

     ${\displaystyle =Q\left(x,y\right)}$  

よって

${\displaystyle Pdx+Qdy=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}du=du}$  

したがって ${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$  は完全微分方程式である．

以上より

${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$  が成り立つならば${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$ は完全微分方程式である．

 

 

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　最終更新日： 2026年4月18日