必要十分条件の証明

必要十分条件の証明

■必要条件の証明

Pdx+Qdy=0 が完全微分方程式であるとすれば, du=Pdx+Qdy となる関数 u( x,y ) が存在する.

du= u x dx+ u y dy  

より

P= u x  , Q= u y

である.

P y = y ( u x )= 2 u yx  ・・・・・・(1)

Q x = x ( u y )= 2 u xy  ・・・・・・(2)

2 u yx = 2 u xy  ・・・・・・(3)  (偏微分の順序交換より)

(1),(2),(3)より

P y = Q x  

となる.

以上より

Pdx+Qdy=0 が完全微分方程式であれば P y = Q x が成り立つ.

 

■十分条件の証明

P y = Q x  が成り立つとする.

F( x,y )= a x P( t,y )dt  

G( y )= a y Q( a,s )ds

とし

u( x,y )=F( x,y )+G( y )  

とおく.

u x = x { F( x,y )+G( y ) }  

= x F( x,y )  

= x a x P( t,y )dt  

=P( x,y )  

u y = y { F( x,y )+G( y ) }  

= y F( x,y )+ y G( y )  

= y a x P( t,y )dt + y a y Q( a,s )ds  

= a x y P( t,y )dt +Q( a,y )   (微分と積分の順序交換より)

y P t,y = t Q t,y  より

      = a x t Q( t,y )dt +Q( a,y )  

      = [ Q( t,y ) ] a x +Q( a,y )  

      =Q( x,y )Q( a,y )+Q( a,y )  

      =Q( x,y )  

よって

Pdx+Qdy= u x dx+ u y du=du  

したがって P d x + Q d y = 0  は完全微分方程式である.

以上より

P y = Q x  が成り立つならば Pdx+Qdy=0 は完全微分方程式である.

 

 

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 最終更新日: 2023年6月11日