完全微分方程式

ある関数  ${\displaystyle u\left(x,y\right)}$ の全微分  ${\displaystyle du=u_{x}dx+u_{y}dy}$  の値が0である

${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$　･･････(1)　　　

(${\displaystyle u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=P\left(x,y\right)}$，${\displaystyle u_y=\frac{\partial u}{\partial y}=Q\left(x,y\right)}$ )

を完全微分方程式という．

■完全微分方程式であるための必要十分条件

${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$  が完全微分方程式であるための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}}$　･･････(2)

である．⇒証明

■完全微分方程式の解

●一般解

完全微分方程式 ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$ の一般解は

${\displaystyle u\left(x,y\right)=c}$　(${\displaystyle c}$ ：任意定数)　･･････(3)

である．ただし，${\displaystyle du=P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}$  である．

一般解 ${\displaystyle u\left(x,y\right)=c}$ を${\displaystyle P\left(x,y\right)}$ と${\displaystyle Q\left(x,y\right)}$ を用いて表すことにする．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}u\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)}$ より

${\displaystyle u\left(x,y\right)={\displaystyle \int P\left(x,y\right)dx}+G\left(y\right)}$ 　($G\left(y\right)$ は${\displaystyle y}$ の関数）･･････(4)

となる．

${\displaystyle Q\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}u\left(x,y\right)}$より，(4)を用いて書き換えると

${\displaystyle Q\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left\{{\displaystyle \int P\left(x,y\right)dx}+G\left(y\right)\right\}}$

(5)を${\displaystyle \frac{d}{dy}G\left(y\right)}$ について解くと

${\displaystyle \frac{d}{dy}G\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle \int P\left(x,y\right)dx}}$

(6)を(1)に代入する．

${\displaystyle u\left(x,y\right)={\displaystyle \int P\left(x,y\right)dx}}$${\displaystyle +{\displaystyle \int \left\{Q\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle \int P\left(x,y\right)dx}\right\}}dy}$

よって，一般解は

となる．(7)は不定積分を使って表現しているが、今度は定積分を使って一般解を表すと

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_b^y\left\{{\displaystyle {\int }_a^x\frac{\partial }{\partial y}P\left(x,y\right)dx}\right\}dy}=c}$ 　･･････(8)

(8)に完全微分方程式であるための必要十分条件の(2)を代入すると

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}}$${\displaystyle -{{\displaystyle \int }}_b^y\left\{{{\displaystyle \int }}_a^x\frac{\partial }{\partial x}Q\left(x,y\right)dx\right\}dy=c}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_b^y{\left[Q\left(x,y\right)\right]}_a^{x}dy}=c}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_b^y\left\{Q\left(x,y\right)-Q\left(a,y\right)\right\}dy}=c}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(x,y\right)dy}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)}dy=c}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx}+{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)}dy=c}$　･･････(9)

●特殊解

初期条件「${\displaystyle x=x_0}$ ，${\displaystyle y=y_0}$ 」を満たす特殊解は，一般解を求めてから初期条件を代入して定数 ${\displaystyle c}$を定めることで求められる．完全微分方程式の場合は，一般解の式(9)を活用すること求めることもできる．

一般解の式(9)に，${\displaystyle a=x_0}$ ，${\displaystyle b=y_0}$ を代入した式

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{x_0}^{x}P\left(x,y\right)dx+{{\displaystyle \int }}_{y_0}^{y}Q\left(x_0,y\right)dy=c}$　･･････(10)

に，初期条件を代入すると

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{x_0}^{x_0}P\left(x_0,y\right)dx+{{\displaystyle \int }}_{y_0}^{y_0}Q\left(x_0,y\right)dy=c}$

${\displaystyle 0+0=c}$

∵積分範囲が0

${\displaystyle c=0}$

となり任意定数${\displaystyle c}$ が定まる．したがって，特殊解は

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{x_0}^{x}P\left(x,y\right)dx+{{\displaystyle \int }}_{y_0}^{y}Q\left(x_0,y\right)dy=0}$　･･････(11)

となる．

 

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　最終更新日： 2024年10月7日