微分と積分の順序交換

領域${\displaystyle D}$ において${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が連続で， ${\displaystyle y}$ で偏微分可能であるならば，

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx}={\displaystyle {\int }_a^b\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dx}}$  

が成り立つ．

■証明

${\displaystyle F\left(y\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx}}$  とおく

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}F\left(y\right)}$

${\displaystyle =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{F\left(y+k\right)-F\left(y\right)}{k}}$

${\displaystyle =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)\right\}dx}}$     (積分の線形性より)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=f_y\left(x,y\right)}$  とおく．平均値の定理より

${\displaystyle f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)=f_y\left(x,y+\theta k\right)k}$${\displaystyle }$  ${\displaystyle \left(0<\theta <1\right)}$

となる．よって

  ${\displaystyle \underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)\right\}dx}}$  

${\displaystyle =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_y\left(x,y+\theta k\right)kdx}}$  

${\displaystyle =\underset{k\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_y\left(x,y+\theta k\right)dx}}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^b{f}_y\left(x,y\right)dx}=F_y\left(x,y\right)}$  とおくと

  ${\displaystyle \underset{k\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_y\left(x,y+\theta k\right)dx}}$  

${\displaystyle =\underset{k\to 0}{\lim }{F}_y\left(x,y+\theta k\right)}$  

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$  が連続で，${\displaystyle y}$ で偏微分可能であるので，${\displaystyle F_y\left(x,y\right)}$ は連続関数となる．よって

${\displaystyle \underset{k\to 0}{\lim }{F}_y\left(x,y+\theta k\right)=F_y\left(x,y\right)}$  ･･････(1)

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^b\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dx}={\displaystyle {\int }_a^b{f}_y\left(x,y\right)dx}}$${\displaystyle =F_y\left(x,y\right)}$  ･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx}={\displaystyle {\int }_a^b\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dx}}$ 

 

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最終更新日： 2026年9月25日