2階線形同次微分方程式

2階線形同次微分方程式

${\displaystyle y^{″}+P\left(x\right)y^{\prime }+Q\left(x\right)y=0}$  ･･････(1)

の2つの解${\displaystyle u\left(x\right)}$ と${\displaystyle v\left(x\right)}$ が1次独立であれば一般解は

${\displaystyle y=c_{1}u\left(x\right)+c_{2}v\left(x\right)}$　　(${\displaystyle c_1,c_2}$ は定数)

である．

■参考

微分方程式(1)の3つの解を${\displaystyle u\left(x\right),v\left(x\right),w\left(x\right)}$ とする．これら3つの解の1次結合

${\displaystyle c_{1}u\left(x\right)+c_{2}v\left(x\right)+c_{3}w\left(x\right)}$  

も微分方程式(1)の解となる．

これらの3つの解が1次独立か1次従属かを検討する．

${\displaystyle c_{1}u+c_{2}v+c_{3}w=0}$  ･･････(2)

とおく．(2)を微分する

${\displaystyle c_1{u}^{\prime }+c_2{v}^{\prime }+c_3{w}^{\prime }=0}$  ･･････(3)

(3)を更に微分する

${\displaystyle c_1{u}^{″}+c_2{v}^{″}+c_3{w}^{″}=0}$  ･･････(4)

(2)，(3)，(4)を行列を用いて表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}u& v& w\\ u^{\prime }& v^{\prime }& w^{\prime }\\ u^{″}& v^{″}& w^{″}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$  ･･････(5)

となる．

行列式

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}u& v& w\\ u^{\prime }& v^{\prime }& w^{\prime }\\ u^{″}& v^{″}& w^{″}\end{array}\right|}$  ･･････(6)

の解を求める．

${\displaystyle u,v,w}$ が(1)の解であるので

${\displaystyle u^{″}+P{u}^{\prime }+Qu=0}$  

${\displaystyle v^{″}+P{v}^{\prime }+Qv=0}$  

${\displaystyle w^{″}+P{w}^{\prime }+Qw=0}$  

が成り立つ．よって

${\displaystyle u^{″}=-P{u}^{\prime }-Qu}$  

${\displaystyle v^{″}=-P{v}^{\prime }-Qv}$  

${\displaystyle w^{″}=-P{w}^{\prime }-Qw}$  

となる．これらを(5)に代入する

3行目に2行目を${\displaystyle -P}$ 倍して加え，さらに1行目を${\displaystyle -Q}$ 倍して加えると

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}u& v& w\\ u^{\prime }& v^{\prime }& w^{\prime }\\ 0& 0& 0\end{array}\right|}$

${\displaystyle =0}$

行列式の値が0となる．

よって，${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ ，${\displaystyle c_3}$ の何れかが 0 でなくても(6)が成り立つ．つまり(2)も成り立つ．（ここが参考となる）

したがって${\displaystyle u,v,w}$ は1次従属となる．

 

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最終更新日： 2023年6月11日