積分因子の証明

積分因子の証明

微分方程式  P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0  について

(1)   P y ( x,y ) Q x ( x,y ) Q( x,y ) =ϕ( x )   ( x  だけの関数)ならば, λ= e ϕ( x )dx 積分因子である.

■証明

Pdx+Qdy=0  ・・・・・・(1)

(1)の両辺に λ= e ϕ( x )dx をかける.

λ( Pdx+Qdy )=0  

( λP )dx+( λQ )dy=0  ・・・・・・(2)

(2)が完全微分方程式であるためには

y ( λP )= x ( λQ )  ・・・・・・(3)

でなければならない.

y ( λP ) = y { ( e ϕ( x )dx )P } = e ϕ( x )dx y P =λ P y  ・・・・・・(4)

x ( λQ ) = x { ( e ϕ( x )dx )Q }

={ d dx ( e ϕ( x )dx ) }Q+( e ϕ( x )dx )( x Q )

=( e ϕ( x )dx )( d dx ϕ( x )dx )Q+( e ϕ( x )dx ) Q x

=λϕ( x )Q+λ Q x

ϕ ( x ) = P y Q x Q  を代入すると

=λ P y Q x Q Q+λ Q x

=λ( P y Q x )+λ Q x

=λ P y  ・・・・・・(5)

(4),(5)より(3)を満足している.

よって λ= e ϕ( x )dx は積分因子である.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月12日