積分因子の証明

微分方程式  ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$  について

(1)  ${\displaystyle \frac{P_y\left(x,y\right)-Q_x\left(x,y\right)}{Q\left(x,y\right)}=\varphi \left(x\right)}$   (${\displaystyle x}$  だけの関数)ならば，${\displaystyle \lambda =e^{\int \varphi \left(x\right)dx}}$ は積分因子である．

■証明

${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$  ･･････(1)

(1)の両辺に ${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle \int \varphi \left(x\right)dx}}}$ をかける．

${\displaystyle \lambda \left(Pdx+Qdy\right)=0}$  

${\displaystyle \left(\lambda P\right)dx+\left(\lambda Q\right)dy=0}$  ･･････(2)

(2)が完全微分方程式であるためには

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(\lambda P\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda Q\right)}$  ･･････(3)

でなければならない．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(\lambda P\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left\{\left(e^{{\displaystyle \int \varphi \left(x\right)dx}}\right)P\right\}}$${\displaystyle =e^{{\displaystyle \int \varphi \left(x\right)dx}}\frac{\partial }{\partial y}P}$${\displaystyle =\lambda P_y}$　･･････(4)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda Q\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left\{\left(e^{{\displaystyle \int \varphi \left(x\right)dx}}\right)Q\right\}}$

${\displaystyle =\lambda \varphi \left(x\right)Q+\lambda Q_x}$

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=\frac{P_y-Q_x}{Q}}$  を代入すると

${\displaystyle =\lambda \frac{P_y-Q_x}{Q}Q+\lambda Q_x}$

${\displaystyle =\lambda \left(P_y-Q_x\right)+\lambda Q_x}$

${\displaystyle =\lambda P_y}$　･･････(5)

(4)，(5)より(3)を満足している．

よって${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle \int \varphi \left(x\right)dx}}}$ は積分因子である．

 

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最終更新日： 2023年6月12日