積分因子

微分方程式 ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$ は完全微分方程式ではないが，ある関数 ${\displaystyle \lambda =\lambda \left(x,y\right)}$  を両辺に掛けた

${\displaystyle \left\{\lambda P\left(x,y\right)\right\}dx+\left\{\lambda Q\left(x,y\right)\right\}dy=0}$

が完全微分方程式になることがある．

このような関数${\displaystyle \lambda }$ を微分方程式 ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$ の積分因子という．

微分方程式 ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$ について

(1)  ${\displaystyle \frac{P_y\left(x,y\right)-Q_x\left(x,y\right)}{Q\left(x,y\right)}=\varphi \left(x\right)}$   (${\displaystyle x}$  だけの関数)ならば，${\displaystyle \lambda =e^{\int \varphi \left(x\right)dx}}$ は積分因子である．⇒証明

(2)  ${\displaystyle \frac{P_y\left(x,y\right)-Q_x\left(x,y\right)}{P\left(x,y\right)}=\varphi \left(y\right)}$  (${\displaystyle y}$  だけの関数)ならば，${\displaystyle \lambda =e^{-\int \varphi \left(y\right)dy}}$ は積分因子である． ⇒証明

 

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　最終更新日： 2024年5月17日