積分因子の証明

積分因子の証明

微分方程式  P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0  について

(2)   P y ( x,y ) Q x ( x,y ) P( x,y ) =φ( y )   ( y  だけの関数)ならば, λ= e φ( y )dy 積分因子である.

■証明

P d x + Q d y = 0  ・・・・・・(1)

(1)の両辺に λ = e ϕ ( y ) d y をかける.

λ ( P d x + Q d y ) = 0  

( λ P ) d x + ( λ Q ) d y = 0  ・・・・・・(2)

(2)が完全微分方程式であるためには

x ( λ Q ) = y ( λ P )  ・・・・・・(3)

でなければならない.

x ( λ Q ) = x { ( e ϕ ( y ) d y ) Q } = e ϕ ( y ) d y x Q = λ Q x  ・・・・・・(4)

y ( λ P ) = y { ( e ϕ ( y ) d y ) P }

= { d d y ( e ϕ ( y ) d y ) } P + ( e ϕ ( y ) d y ) ( y P )

=( e φ( y )dy ){ d dy ( φ( y )dy ) }P+( e φ( y )dy ) P y

= λ ϕ ( y ) P + λ P y

ϕ ( y ) = P y Q x P  を代入すると

= λ P y Q x P P + λ P y

= λ ( P y Q x ) + λ P y

= λ Q x  ・・・・・・(5)

(4),(5)より(3)を満足している.

よって

λ = e ϕ ( y ) d y

は積分因子である.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月12日