積分因子の証明

微分方程式  ${\displaystyle P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy=0}$  について

(2)   ${\displaystyle \frac{P_y\left(x,y\right)-Q_x\left(x,y\right)}{P\left(x,y\right)}=\phi \left(y\right)}$   ( ${\displaystyle y}$  だけの関数)ならば， ${\displaystyle \lambda =e^{-{\displaystyle \int \phi \left(y\right)dy}}}$ は積分因子である．

■証明

${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$  ･･････(1)

(1)の両辺に ${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle -\int \varphi \left(y\right)dy}}}$ をかける．

${\displaystyle \lambda \left(Pdx+Qdy\right)=0}$  

${\displaystyle \left(\lambda P\right)dx+\left(\lambda Q\right)dy=0}$  ･･････(2)

(2)が完全微分方程式であるためには

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda Q\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\lambda P\right)}$  ･･････(3)

でなければならない．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda Q\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left\{\left(e^{{\displaystyle -\int \varphi \left(y\right)dy}}\right)Q\right\}}$${\displaystyle =e^{{\displaystyle -\int \varphi \left(y\right)dy}}\frac{\partial }{\partial x}Q}$${\displaystyle =\lambda Q_x}$　･･････(4)

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(\lambda P\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left\{\left(e^{{\displaystyle -\int \varphi \left(y\right)dy}}\right)P\right\}}$

${\displaystyle =-\lambda \varphi \left(y\right)P+\lambda P_y}$

${\displaystyle \varphi \left(y\right)=\frac{P_y-Q_x}{P}}$  を代入すると

${\displaystyle =-\lambda \frac{P_y-Q_x}{P}P+\lambda P_y}$

${\displaystyle =-\lambda \left(P_y-Q_x\right)+\lambda P_y}$

${\displaystyle =\lambda Q_x}$　･･････(5)

(4)，(5)より(3)を満足している．

よって

${\displaystyle \lambda =e^{{\displaystyle -\int \varphi \left(y\right)dy}}}$

は積分因子である．

 

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最終更新日： 2023年6月12日