定数係数線形微分方程式の解の導出

(2)定数係数線形微分方程式

${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}{y}^{\left(n-1\right)}+\cdots +A_1{y}^{\prime }=F\left(x\right)}$

で ${\displaystyle F\left(x\right)}$ が ${\displaystyle r}$ 次の多項式であるとする． ${\displaystyle A_1\ne 0}$ ならば ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ を ${\displaystyle r}$ 次の多項式として，これは ${\displaystyle x\varphi \left(x\right)}$ という形の特殊解をもつ．

■導出

${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}{y}^{\left(n-1\right)}+\cdots +A_1{y}^{\prime }=F\left(x\right)}$ 　･･････(1)

の特性方程式は

${\displaystyle f\left(t\right)}$${\displaystyle =t^n+A_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +A_{1}t}$

${\displaystyle =t\left(t^{n-1}+A_{n-1}{t}^{n-2}+\cdots +A_1\right)}$

${\displaystyle =tg\left(t\right)}$

(ただし， ${\displaystyle g\left(t\right)=t^{n-1}+A_{n-1}{t}^{n-2}+\cdots +A_1}$，${\displaystyle A_1\ne 0}$ とする)

となる．

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

${\displaystyle y=\frac{1}{Dg\left(D\right)}F\left(x\right)}$  

となる．

${\displaystyle \frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)=\varphi \left(x\right)}$ とおくと，${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ は${\displaystyle r}$ 次の多項式なので　　　(ここを参照)

${\displaystyle y}$${\displaystyle =\frac{1}{D}\varphi \left(x\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{D}\left(c_r{x}^r+c_{r-1}{x}^{r-1}+\cdots +c_{1}x+c_0\right)}$

${\displaystyle =x\varphi \left(x\right)}$

(${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ は${\displaystyle r}$ 次の多項式)

 

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，最終更新日： 2025年7月23日