定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式の解の導出

(2)定数係数線形微分方程式

y ( n ) + A n 1 y ( n 1 ) + + A 1 y = F ( x )

F ( x ) r 次の多項式であるとする. A 1 0 ならば ϕ ( x ) r 次の多項式として,これは x ϕ ( x ) という形の特殊解をもつ.

■導出

y ( n ) + A n1 y ( n1 ) ++ A 1 y =F( x )  ・・・・・・(1)

の特性方程式は

f( t ) = t n + A n1 t n1 ++ A 1 t

=t( t n1 + A n1 t n2 ++ A 1 )

=tg( t )

(ただし, g ( t ) = t n 1 + A n 1 t n 2 + + A 1 A 1 0 とする)

となる.

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

y= 1 Dg( D ) F( x )  

となる.

1 g( D ) F( x )=ϕ( x ) とおくと, ϕ( x ) r 次の多項式なので   (ここを参照)

y = 1 D ϕ( x )

= 1 D ( c r x r + c r1 x r1 ++ c 1 x+ c 0 )

= c r r+1 x r+1 + c r1 r x r ++ c 1 2 x 2 + c 0 x

=x( c r r+1 x r + c r1 r x r1 ++ c 1 2 x+ c 0 )

=xϕ( x )

( ϕ( x ) r 次の多項式)

 

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学生スタッフ作成
,最終更新日: 2024年5月17日