特性方程式

${\displaystyle f\left(D\right)}$ は微分演算子とする．

微分方程式

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$

において${\displaystyle f\left(t\right)y=0}$ を特性方程式という．

■特性方程式の意味するもの

微分方程式

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$ 　･･････(1)

において ${\displaystyle y=e^{tx}}$ とおくと

${\displaystyle f\left(D\right)e^{tx}=0}$

${\displaystyle f\left(t\right)e^{tx}=0}$　(この公式より)

となる．${\displaystyle e^{tx}\ne 0}$ であるので， ${\displaystyle f\left(t\right)=0}$ の方程式の解の1つを${\displaystyle \alpha }$ とすれば ${\displaystyle y=e^{\alpha x}}$ は(1)の解である．

■具体例

${\displaystyle y^{″}+3y^{\prime }+2y=0}$

${\displaystyle D^{2}y+3Dy+2y=0}$

${\displaystyle \left(D^2+3D+2\right)y=0}$

ここで${\displaystyle f\left(D\right)=D^2+3D+2}$ とおくと

${\displaystyle f\left(D\right)y=0}$

特性方程式は

${\displaystyle f\left(t\right)=0}$

すなわち

${\displaystyle t^2+3t+2=0}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年6月13日