2変数のマクローリン(Maclaurin)の定理

2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が領域 ${\displaystyle D}$ で ${\displaystyle n}$ 回連続偏微分可能であるり，点 ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ と点 ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ を結ぶ線分が ${\displaystyle D}$ に含まれるとき

${\displaystyle f(x,y)=f(0,0)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{1!}\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)f(0,0)}$ ${\displaystyle +\frac{1}{2!}{\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f\left(0,0\right)+\cdots }$ ${\displaystyle +\frac{1}{n!}{\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f\left(0,0\right)+R_{n+1}}$

ただし

${\displaystyle R_{n+1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\left(n+1\right)!}{\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f\left(\theta x,\theta y\right)}$

となる ${\displaystyle \theta }$ （ ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ）が存在する．

これは2変数のテイラー定理において， ${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(0,0\right)}$ ， ${\displaystyle h=x}$ ， ${\displaystyle k=y}$ としたものである．

 

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最終更新日： 2026年8月4日