ロルの定理

${\displaystyle x=c\left(a<c<b\right)}$ で最大値をとる場合， ${\displaystyle h}$ の正負に関わらず

${\displaystyle f\left(c+h\right)\leqq f\left(c\right)}$

となる．

よって，${\displaystyle h>0}$ なら

${\displaystyle \frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\leqq 0}$

したがって，

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\leqq 0}$　･････(1)

となる．

${\displaystyle h<0}$なら

${\displaystyle \frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\geqq 0}$

したがって，

${\displaystyle \underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\geqq 0}$　･････(2)

となる．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が閉区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$で連続，開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$で微分可能であるので${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)}$ が存在し

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}$${\displaystyle =\underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}$　･････(3)

が成り立つ．

(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)=0}$

となる．

${\displaystyle x=c\left(a<c<b\right)}$ で最小値をとる場合， ${\displaystyle h}$ の正負に関わらず

${\displaystyle f\left(c+h\right)\geqq f\left(c\right)}$

となる．よって，${\displaystyle h>0}$ なら

${\displaystyle \frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\geqq 0}$

したがって，

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\geqq 0}$　･････(4)

となり，${\displaystyle h<0}$ なら

${\displaystyle \frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\leqq 0}$

となる．したがって，

${\displaystyle \underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\leqq 0}$　･････(5)

となる．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 閉区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ で連続，開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で微分可能であるので${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)}$ が存在し

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}$${\displaystyle =\underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}$　･････(6)

が成り立つ．

(4)，(5)，(6)より

${\displaystyle f^{\prime }\left(c\right)=0}$

となる．