複素数の積分

複素平面上の2点${\displaystyle P}$ ，${\displaystyle Q}$を結ぶ経路${\displaystyle C}$ があり，経路${\displaystyle C}$が経路${\displaystyle C}$ 上の${\displaystyle n-1}$ 個の点で${\displaystyle n}$ 個に分割されているとする．点 ${\displaystyle P}$側から${\displaystyle n-1}$ 個の点を${\displaystyle P_1}$ ，${\displaystyle P_2}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，${\displaystyle P_{n-1}}$ とし，点 ${\displaystyle P}$ を ${\displaystyle P_0}$，点 ${\displaystyle Q}$ を${\displaystyle P_n}$ とも呼ぶことにする．経路 ${\displaystyle C}$上の一部${\displaystyle P_{i-1}}$ と${\displaystyle P_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)}$ の間の経路上に点${\displaystyle C_i}$ がある．

点${\displaystyle P_i}$の複素数の値を ${\displaystyle z_i}$ ，点${\displaystyle C_i}$の複素数の値を ${\displaystyle c_i}$ とする．

複素関数 ${\displaystyle f\left(z\right)}$ において

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}f\left(c_i\right)\Delta z_i}$

(ただし，${\displaystyle \Delta z_i=z_i-z_{i-1}}$ )

の値を

${\displaystyle \underset{C}{\int }f\left(z\right)dz}$

と表し，経路${\displaystyle C}$ に沿う積分と定義する．${\displaystyle C}$ を積分経路という．

曲線 ${\displaystyle C}$ が滑らかな曲線で

${\displaystyle z=x+iy=x\left(t\right)+iy\left(t\right)=z\left(t\right)}$

${\displaystyle f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)}$

と表すことにすると

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(z\right)dz}$${\displaystyle ={\int }_C\left\{\left(u+iv\right)\left(dx+idy\right)\right\}}$

${\displaystyle ={\int }_C\left(udx+iudy+ivdx-vdy\right)}$

${\displaystyle ={\int }_C\left\{udx-vdy+i\left(udy+vdx\right)\right\}}$

${\displaystyle ={\int }_C\left(udx-vdy\right)+i{\int }_C\left(udy+vdx\right)}$

${\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }\left(u\frac{dx}{dt}-v\frac{dy}{dt}\right)dt}$${\displaystyle +i{\int }_{\alpha }^{\beta }\left(u\frac{dy}{dt}+v\frac{dx}{dt}\right)dt}$

（ただし ${\displaystyle z_0=z\left(\alpha \right),z_n=z\left(\beta \right)}$ ）

となる．

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最終更新日： 2023年2月28日