複素数の実数倍

複素数 $z=a+ib$ を $k$ 倍（ $k$ は実数 ）した $kz$ は

${\displaystyle kz=k\left(a+bi\right)}$ ${\displaystyle =ka+kbi}$

となる．複素平面で点 $\text{P}\left(z\right)$ ，点 $\text{Q}\left(kz\right)$ を表すと図のようになり，原点 $\text{O}$ ，点 $\text{P}\left(z\right)$ ，点 $\text{Q}\left(kz\right)$ は，原点 $\text{O}$ を通る直線上に ある．

${\displaystyle \left|kz\right|=\sqrt{{\left(ka\right)}^2+{\left(kb\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\left|k\right|\sqrt{a^2+b^2}}$ ${\displaystyle =\left|k\right|\left|z\right|}$

となり， ${\displaystyle kz}$ の絶対値は $z$ の絶対値の $\left|k\right|$ 倍になる．言い換えると，線分 $\text{OQ}$ の長さは，線分 $\text{OP}$ の長さの $\left|k\right|$ 倍である．

■解説

点 ${\displaystyle \text{P}\left(z\right)}$ から $x$ 軸に垂線を下ろし $x$ 軸との交点を ${\displaystyle \text{R}\left(a\right)}$ とし，点 ${\displaystyle \text{Q}\left(kz\right)}$ から $x$ 軸に垂線を下ろし $x$ 軸との交点を ${\displaystyle \text{S}\left(ka\right)}$ とする．図1は $k>0$ の場合，図2は ${\displaystyle k<0}$ になる．いずれの場合も

${\displaystyle \frac{\text{OQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{OS}}{\text{OR}}=\frac{\text{QS}}{\text{PR}}=\left|k\right|}$

となり

$△\text{OPR}$ ∽ $△\text{OQS}$

である．よって

${\displaystyle \angle \text{POR=}\angle \text{QOS}}$

となり，原点と点 $\text{P}$ を通る直線の傾きと，原点と点 $\text{Q}$ を通る直線の傾きが等しくなる．じたがって

原点 $\text{O}$ ，点 $\text{P}\left(z\right)$ ，点 $\text{Q}\left(kz\right)$ は，原点 $\text{O}$ を通る直線上に ある．

といえる．

• 図2

• 図3

　

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最終更新日： 2025年11月27日