成分が複素数の場合の内積(n次元ベクトル)

ベクトルの成分を実数から複素数に拡張した場合，内積の定義は以下のようになる．(参考：成分が実数の場合の内積)

${\displaystyle n}$ 次元列ベクトル

${\displaystyle a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$，${\displaystyle b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)}$　(${\displaystyle a_i}$ ，${\displaystyle a_i}$ は複素数)

において

${\displaystyle a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots a_n\overline{b_n}={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}}$

となる値を，${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$の内積と定義し

${\displaystyle a\cdot b}$

で表す．すなわち

${\displaystyle a\cdot b={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}}$ 　･･････(1)

となる．内積を行列の計算表現を使うと

${\displaystyle a\cdot b={}^{t}a\overline{b}}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{b_1}\\ \overline{b_2}\\ ⋮\\ \overline{b_n}\end{array}\right)}$

となる．

行ベクトルでも列ベクトルと同様に内積は(1)で定義される．

内積については次の法則が成り立つ．

(i)   ${\displaystyle a\cdot b=\overline{b\cdot a}}$

(∵${\displaystyle a\cdot b={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\overline{b_i}{a}_i}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\overline{b_i}\overline{\left(\overline{a_i}\right)}}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\overline{b_i\left(\overline{a_i}\right)}}}$${\displaystyle =\overline{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{b}_i\left(\overline{a_i}\right)}}}$${\displaystyle =\overline{b\cdot a}}$ )

(ii)  ${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

(iii) ${\displaystyle \left(ka\right)\cdot b=a\cdot \left(\overline{k}b\right)=k\left(a\cdot b\right)}$

(∵${\displaystyle \left(ka\right)\cdot b={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(k{a}_i\right)\overline{b_i}}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\left(k\overline{b_i}\right)}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overline{\left(\overline{k}{b}_i\right)}}}$${\displaystyle =a\cdot \left(\overline{k}b\right)}$
${\displaystyle \left(ka\right)\cdot b={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(k{a}_i\right)\overline{b_i}}}$${\displaystyle =k{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}}}$${\displaystyle =k\left(a\cdot b\right)}$ )

(iv) ${\displaystyle a\cdot a\ge 0}$ ，特に，${\displaystyle a\cdot a=0\iff a=0}$

　

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最終更新日：2022年9月3日