三角行列の対角化

■定理

${\displaystyle n}$ 次正方行列${\displaystyle A}$ は，適当な直交行列 ${\displaystyle P}$ により三角化できる．すなわち，

${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & *\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_n\end{array}\right)}$　･･････(1)

と変形できる．

証明

帰納法で証明する．

${\displaystyle n=1}$ のときは(1)は明らかに成り立つ．

${\displaystyle n=k}$ のとき(1)が成り立つと仮定する．

${\displaystyle {\left(T^{\prime }\right)}^{-1}{A^{\prime }}_k{T}^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{{\lambda }^{\prime }}_1& & & *\\ & {{\lambda }^{\prime }}_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {{\lambda }^{\prime }}_k\end{array}\right)}$　･･････(2)

(${\displaystyle T^{\prime }}$ は直交行列，${\displaystyle {A^{\prime }}_k}$ は${\displaystyle k}$ 次の正方行列)

すなわち，(2)が成り立つ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}{{\lambda }^{\prime }}_1& & & *\\ & {{\lambda }^{\prime }}_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {{\lambda }^{\prime }}_k\end{array}\right)}$の固有値は，対角要素になり， ${\displaystyle {{\lambda }^{\prime }}_1}$ ，${\displaystyle {{\lambda }^{\prime }}_2}$ ，…，${\displaystyle {{\lambda }^{\prime }}_k}$ になる．

${\displaystyle {A^{\prime }}_k}$ と${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}{{\lambda }^{\prime }}_1& & & *\\ & {{\lambda }^{\prime }}_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {{\lambda }^{\prime }}_k\end{array}\right)}$ は相似であるので，固有値は一致する．

${\displaystyle k+1}$ 次の正方行列${\displaystyle A_{k+1}}$ の一つの固有値を${\displaystyle {\lambda }_{k+1}}$ とし，${\displaystyle {\lambda }_{k+1}}$ に対応する大きさが1の固有ベクトルを ${\displaystyle a_{k+1}}$ とする．次に${\displaystyle a_{k+1}}$ を第${\displaystyle k+1}$列の成分とする直行行列を${\displaystyle Q}$ とする．

${\displaystyle Q=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_{k+1}\end{array}\right)}$

と表すことにする．

${\displaystyle AQ=A\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_{k+1}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}A{a}_1& A{a}_2& \cdots & A{a}_{k+1}\end{array}\right)}$

よって

${\displaystyle AQ=Q\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & A_k& & 0\\ & & & ⋮\\ *& \cdots & *& {\lambda }_{k+1}\end{array}\right)}$　･･････(3)

(3)の両辺に左から${\displaystyle Q^{-1}}$ を掛ける．

${\displaystyle Q^{-1}AQ=\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & A_k& & 0\\ & & & ⋮\\ *& \cdots & *& {\lambda }_{k+1}\end{array}\right)}$ 　･･････(4)

(${\displaystyle A_k}$ は${\displaystyle k}$ 次の正方行列)

という関係が成り立つ．

帰納法における仮定(2)より

${\displaystyle T^{-1}{A}_k{T}^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & *\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_k\end{array}\right)}$ 　･･････(5)

(${\displaystyle T}$ は直交行列，${\displaystyle A_k}$ は${\displaystyle k}$ 次の正方行列)

が成り立つ．

ここで，

${\displaystyle R=\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & T& & ⋮\\ & & & 0\\ 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)}$

を導入し，

${\displaystyle S=RQ}$

と置く．

${\displaystyle {}^{t}SS={}^t\left(RQ\right)\left(RQ\right)}$${\displaystyle ={}^{t}Q{}^{t}RRQ}$${\displaystyle ={}^{t}QEQ}$${\displaystyle ={}^{t}QQ}$${\displaystyle =E}$

(∵${\displaystyle R}$ ，${\displaystyle Q}$は直交行列であるので， ${\displaystyle {}^{t}RR=E}$ ，${\displaystyle {}^{t}QQ=E}$ となる．)

${\displaystyle S^{-1}AS={}^{t}SAS}$

(∵${\displaystyle S}$ が直交行列であるので， ${\displaystyle S^{-1}={}^{t}S}$ )

${\displaystyle =\left(R^{-1}{Q}^{-1}\right)A_{k+1}\left(QR\right)}$

(∵${\displaystyle Q}$，${\displaystyle R}$ が直交行列であるので， ${\displaystyle Q^{-1}={}^{t}Q}$，${\displaystyle R^{-1}={}^{t}R}$，よって， ${\displaystyle {}^{t}S={}^t\left(QR\right)={}^{t}R{}^{t}Q=R^{-1}{Q}^{-1}}$ ）

${\displaystyle =R^{-1}\left(Q^{-1}{A}_{k+1}Q\right)R}$

(4)より

${\displaystyle =R^{-1}\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & A_k& & 0\\ & & & ⋮\\ *& \cdots & *& {\lambda }_{k+1}\end{array}\right)R}$

(参考：${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{T}^{-1}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}T& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{T}^{-1}T& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$ ，よって，${\displaystyle {\left(\begin{array}{cc}T& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{T}^{-1}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$)

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & 0\\ & \ddots & & 0\\ & & {\lambda }_2& ⋮\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_{k+1}\end{array}\right)}$

すなわち

${\displaystyle S^{-1}{A}_{k+1}S}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & 0\\ & \ddots & & 0\\ & & {\lambda }_2& ⋮\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_{k+1}\end{array}\right)}$

となり，${\displaystyle n=k+1}$ でも成り立つ．

以上より，（1）は，${\displaystyle n}$ がすべての自然数で成り立つ．

　

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最終更新日：2022年9月3日