(行列の)相似

${\displaystyle n}$ の正方行列${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$において

${\displaystyle B=P^{-1}AP}$

となる${\displaystyle P}$ が存在するとき，${\displaystyle A}$ と${\displaystyle B}$ は相似(similar)であるという．

■相似の性質

相似である${\displaystyle n}$ の正方行列${\displaystyle A}$，${\displaystyle B}$の固有値は一致する.

●証明

行列${\displaystyle A}$ の固有方程式を${\displaystyle f_A\left(x\right)}$ ，行列${\displaystyle B}$ の固有方程式を${\displaystyle f_B\left(x\right)}$とする．

${\displaystyle f_B\left(x\right)=\left|xE-B\right|}$

${\displaystyle =\left|xE-P^{-1}AP\right|}$

${\displaystyle =\left|xEE-P^{-1}AP\right|}$

${\displaystyle =\left|xE\left(P^{-1}P\right)-P^{-1}AP\right|}$

(${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle P^{-1}P=E}$ )

${\displaystyle =\left|P^{-1}xEP-P^{-1}AP\right|}$

(∵行列の計算則)

${\displaystyle =\left|P^{-1}\left(xE-A\right)P\right|}$

${\displaystyle =\left|P^{-1}\right|\left|xE-A\right|\left|P\right|}$

(∵行列の積の行列式)

${\displaystyle =\left|xE-A\right|}$

(∵${\displaystyle \left|P^{-1}P\right|=\left|P^{-1}\right|\left|P\right|}$ ，${\displaystyle \left|P^{-1}P\right|=\left|E\right|=1}$ よって，${\displaystyle \left|P^{-1}\right|\left|P\right|=1}$ )

${\displaystyle =f_A\left(x\right)}$

すなわち

${\displaystyle f_B\left(x\right)=f_A\left(x\right)}$

となる.

行列${\displaystyle A}$ と行列${\displaystyle B}$ の固有多項式が等しくなるので，固有方程式は同じになり，行列 ${\displaystyle A}$ と行列${\displaystyle B}$の固有値は一致する．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>(行列の)相似

最終更新日：2022年8月23日