固有空間

正方行列${\displaystyle A}$ の固有値 ${\displaystyle \lambda }$ に対応する固有ベクトル ${\displaystyle x}$ の全体に${\displaystyle \text{0}}$ （ゼロベクトル）を付け加えた集合全体を固有値${\displaystyle \lambda }$に対する固有空間という．

■具体例

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)}$の固有値，固有ベクトル，固有空間を求める．

●固有値${\displaystyle \lambda }$ を求める

固有方程式は

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 3\\ 2& 2-\lambda \end{array}\right|=0}$

となる．これを解く．

${\displaystyle \left(1-\lambda \right)\left(2-\lambda \right)-3·2=0}$

${\displaystyle 2-3\lambda +{\lambda }^2-6=0}$

${\displaystyle {\lambda }^2-3\lambda -4=0}$

${\displaystyle \left(\lambda +1\right)\left(\lambda -4\right)=0}$

${\displaystyle \lambda =-1,4}$

固有値${\displaystyle \lambda }$ は${\displaystyle -1}$ ，${\displaystyle 4}$である．

●固有ベクトル${\displaystyle x}$ を求める．

固有値，固有ベクトルの定義で用いた式

${\displaystyle Ax=\lambda x}$　･･････(1)

を式変形し

${\displaystyle \left(A-\lambda E\right)x=\text{0}}$　･･････(2)

とする．${\displaystyle \mathrm{A=}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)}$，${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}$ であるので，（2）は

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 3\\ 2& 2-\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\left(1-\lambda \right)x_1+3x_2=0\\ 2x_1+\left(2-\lambda \right)x_2=0\end{array}\right.}$　･･････(3)

となる．(3)に固有値${\displaystyle \lambda }$ を代入し，固有ベクトルを求める．

・${\displaystyle \lambda =-1}$ に対応する固有ベクトル${\displaystyle x}$と固有空間${\displaystyle W}$を求める

(3)に${\displaystyle \lambda =-1}$を代入し，掃き出し法で${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$を求める．定数項は省略している．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\left(1-\left(-1\right)\right)& 3\\ 2& 2-\left(-1\right)\end{array}\right)}$${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 3\end{array}\right)}$${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 0\end{array}\right)}$${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cc}1& \frac{3}{2}\\ 0& 0\end{array}\right)}$

よって，

${\displaystyle x_1+\frac{3}{2}{x}_2=0}$

${\displaystyle x_2=2c}$ （${\displaystyle c}$ は0でない任意定数）とおくと

${\displaystyle x_1=-\frac{3}{2}{x}_2=-\frac{3}{2}·2c=-3c}$

よって，固有ベクトル${\displaystyle x}$ は

${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3c\\ 2c\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)}$　（${\displaystyle c\ne 0}$ としているのは，${\displaystyle x\ne \text{0}}$ のためである．）

となる．

固有空間 ${\displaystyle W}$ は

${\displaystyle W=\left\{x\left|x=c^{\prime }\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right),c^{\prime }\in R\right.\right\}}$

となる．

・${\displaystyle \lambda =4}$ に対応する固有ベクトル${\displaystyle x}$と固有空間${\displaystyle W}$を求める

(3)に${\displaystyle \lambda =4}$を代入し，掃き出し法で${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$を求める．定数項は省略している．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\left(1-4\right)& 3\\ 2& \left(2-4\right)\end{array}\right)}$ ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ 2& -2\end{array}\right)}$ ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}$

よって，

${\displaystyle x_1-x_2=0}$

${\displaystyle x_2=c}$ （${\displaystyle c}$ は0でない任意定数）とおくと

${\displaystyle x_1=x_2=c}$

よって，固有ベクトル${\displaystyle x}$ は

${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c\\ c\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$　（${\displaystyle c\ne 0}$ としているのは，${\displaystyle x\ne \text{0}}$ のためである．）

となる．

固有空間${\displaystyle W}$ は

${\displaystyle W=\left\{x\left|x=c^{\prime }\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),c^{\prime }\in R\right.\right\}}$

となる．

 

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最終更新日：2022年7月21日