行列式の行または列の入れ替えの性質の証明

行列 $A$

$A = (a_{i j}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

の $s$ 行と $t$ 行を入れ替えた行列を行列 $B$ とする．

$B = (b_{i j}) = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix})$

とおくと，行の番号 $i$ が

$i \neq s$ ， $i \neq t$ のとき

$b_{i j} = a_{i j}$

$i = s$ のとき

$b_{s j} = a_{t j}$

$i = t$ のとき

$b_{t j} = a_{s j}$

となる．

$| B | = \sum sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{s} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) b_{1 i_{1}} \dots b_{s i_{s}} \dots b_{t i_{t}} \dots b_{n i_{n}}$

$= \sum sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{s} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \dots a_{t i_{s}} \dots a_{s i_{t}} \dots a_{n i_{n}}$

$a_{t i_{s}}$ と $a_{s i_{t}}$ を入れ替える．

$= \sum sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{s} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \dots a_{s i_{t}} \dots a_{t i_{s}} \dots a_{n i_{n}}$

$(\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{s} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{s} & \dots & i_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} s & t \end{matrix})$ より

$= \sum sgn {(\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{s} & \dots & i_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} s & t \end{matrix})} a_{1 i_{1}} \dots a_{s i_{t}} \dots a_{t i_{s}} \dots a_{n i_{n}}$

$= \sum {- sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{s} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \dots a_{s i_{t}} \dots a_{t i_{s}} \dots a_{n i_{n}}}$

$= - \sum sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & s & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{s} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \dots a_{s i_{t}} \dots a_{t i_{s}} \dots a_{n i_{n}}$

$= - | A |$

転置の性質 $| A | = | {}^{t}A |$ より，の $s$ 列と $t$ 列を入れ替えた場合も同様にして証明できる．

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最終更新日： 2022年6月18日