行列式の入れ替えの性質の証明

行列式の行または列の入れ替えの性質の証明

行列 A

A=( a ij )=( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn )

s 行と t 行を入れ替えた行列を行列 B とする.

B=( b ij )=( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn )

とおくと,行の番号 i

is it のとき

b ij = a ij

i=s のとき

b sj = a tj

i=t のとき

b tj = a sj

となる.

| B |= sgn( 1 s t n i 1 i s i t i n ) b 1 i 1 b s i s b t i t b n i n

= sgn( 1 s t n i 1 i s i t i n ) a 1 i 1 a t i s a s i t a n i n

a t i s a s i t を入れ替える.

= sgn( 1 s t n i 1 i s i t i n ) a 1 i 1 a s i t a t i s a n i n

( 1 s t n i 1 i s i t i n ) =( 1 s t n i 1 i t i s i n )( s t ) より

= sgn { ( 1 s t n i 1 i t i s i n )( s t ) } a 1 i 1 a s i t a t i s a n i n

= { sgn( 1 s t n i 1 i t i s i n ) a 1 i 1 a s i t a t i s a n i n }

= sgn ( 1 s t n i 1 i t i s i n ) a 1 i 1 a s i t a t i s a n i n

=| A |

転置の性質 | A | = | A t | より,の s 列と t 列を入れ替えた場合も同様にして証明できる.

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最終更新日: 2022年6月18日