行列式の2つの行(または列)を入れ替えると,行列式の値は符合だけ変わる.
| a 11 a 12 ⋯ a 1n ⋮ ⋮ ⋮ a t1 a t2 a tn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a s1 a s2 a sn ⋮ ⋮ ⋮ a 11 a 11 ⋯ a 11 | =−| a 11 a 12 ⋯ a 1n ⋮ ⋮ ⋮ a s1 a s2 a sn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a t1 a t2 a tn ⋮ ⋮ ⋮ a 11 a 11 ⋯ a 11 |
( t行と s行が入れ替わっている)
また,この性質は行列式の転置における性質から,列どうしの交換でも成立する.
⇒証明へ
例1:2次の行列式の場合
| a b c d | =ad−bc =da−cb =−( cb−da ) =−| c d a b |
例2:2次の行列式の場合
| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
= a 22 a 11 a 33 + a 23 a 12 a 31 + a 21 a 13 a 32 − a 23 a 11 a 32 − a 21 a 12 a 33 − a 22 a 13 a 31
=− a 21 a 12 a 33 − a 22 a 13 a 31 − a 23 a 11 a 32 + a 21 a 13 a 32 + a 22 a 11 a 33 + a 23 a 12 a 31
=−( a 21 a 12 a 33 + a 22 a 13 a 31 + a 23 a 11 a 32 − a 21 a 13 a 32 − a 22 a 11 a 33 − a 23 a 12 a 31 )
=−| a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 |
例3:第2行と第4行を入れ替えた場合
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | =−| 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 21 22 23 24 25 |
例4:第2列と第4列を入れ替えた場合
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | =−| 1 4 3 2 5 6 9 8 7 10 11 14 13 12 15 16 19 18 17 20 21 24 23 22 25 |
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最終更新日: 2022年9月8日