行列式の行または列の入れ替えの性質

行列式の行または列の入れ替えの性質

行列式の2つの行(または列)を入れ替えると,行列式の値は符合だけ変わる.

| a 11 a 12 a 1n a t1 a t2 a tn a s1 a s2 a sn a 11 a 11 a 11 | =| a 11 a 12 a 1n a s1 a s2 a sn a t1 a t2 a tn a 11 a 11 a 11 |  

t行と s行が入れ替わっている)

また,この性質は行列式の転置における性質から,列どうしの交換でも成立する.

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■具体例

例1:2次の行列式の場合

| a b c d | =adbc =dacb =( cbda ) =| c d a b |  

例2:2次の行列式の場合

| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |  

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31  

= a 22 a 11 a 33 + a 23 a 12 a 31 + a 21 a 13 a 32 a 23 a 11 a 32 a 21 a 12 a 33 a 22 a 13 a 31  

= a 21 a 12 a 33 a 22 a 13 a 31 a 23 a 11 a 32 + a 21 a 13 a 32 + a 22 a 11 a 33 + a 23 a 12 a 31  

=( a 21 a 12 a 33 + a 22 a 13 a 31 + a 23 a 11 a 32 a 21 a 13 a 32 a 22 a 11 a 33 a 23 a 12 a 31 )  

=| a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 |  

例3:第2行と第4行を入れ替えた場合  

| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | =| 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 21 22 23 24 25 |

例4:第2列と第4列を入れ替えた場合  

| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | =| 1 4 3 2 5 6 9 8 7 10 11 14 13 12 15 16 19 18 17 20 21 24 23 22 25 |


 

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最終更新日: 2022年9月8日