行列式の行または列の入れ替えの性質

行列式の2つの行（または列）を入れ替えると，行列式の値は符合だけ変わる．

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{t 1} & a_{t 2} & a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{s 1} & a_{s 2} & a_{s n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{11} & a_{11} & \dots & a_{11} \end{matrix} |$ $= - | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{s 1} & a_{s 2} & a_{s n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{t 1} & a_{t 2} & a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{11} & a_{11} & \dots & a_{11} \end{matrix} |$

（ $t$ 行と $s$ 行が入れ替わっている）

また，この性質は行列式の転置における性質から，列どうしの交換でも成立する．

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■具体例

例1：2次の行列式の場合

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ $= a d - b c$ $= d a - c b$ $= - (c b - d a)$ $= - | \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} |$

例2：2次の行列式の場合

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31}$ $+ a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32}$ $- a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$

$= a_{22} a_{11} a_{33} + a_{23} a_{12} a_{31}$ $+ a_{21} a_{13} a_{32} - a_{23} a_{11} a_{32}$ $- a_{21} a_{12} a_{33} - a_{22} a_{13} a_{31}$

$= - a_{21} a_{12} a_{33} - a_{22} a_{13} a_{31}$ $- a_{23} a_{11} a_{32} + a_{21} a_{13} a_{32}$ $+ a_{22} a_{11} a_{33} + a_{23} a_{12} a_{31}$

$= - (a_{21} a_{12} a_{33} + a_{22} a_{13} a_{31}$ $+ a_{23} a_{11} a_{32} - a_{21} a_{13} a_{32}$ $- a_{22} a_{11} a_{33} - a_{23} a_{12} a_{31})$

$= - | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

例3：第2行と第4行を入れ替えた場合

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{matrix} |$ $= - | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{matrix} |$

例4：第2列と第4列を入れ替えた場合

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{matrix} |$ $= - | \begin{matrix} 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \\ 6 & 9 & 8 & 7 & 10 \\ 11 & 14 & 13 & 12 & 15 \\ 16 & 19 & 18 & 17 & 20 \\ 21 & 24 & 23 & 22 & 25 \end{matrix} |$

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最終更新日： 2022年9月8日