行列の積の行列式の定理の証明（2次の正方行列）

　2次の正方行列

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$

の行列の積を考える．

$b_{1} = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \end{matrix})$

$b_{2} = (\begin{matrix} b_{21} & b_{22} \end{matrix})$

とおくと

$B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$

と表わせる．

$A B = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix})$

ここで，行列 $A B$ の第1行を抜き出した行ベクトルは

$(\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \end{matrix})$

$= a_{11} (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \end{matrix}) + a_{12} (\begin{matrix} b_{21} & b_{22} \end{matrix})$

$= a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2}$

行列 $A B$ の第2行を抜き出した行ベクトルは

$(\begin{matrix} a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix})$

$= a_{21} (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \end{matrix}) + a_{22} (\begin{matrix} b_{21} & b_{22} \end{matrix})$

$= a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2}$

である．よって

$A B = (\begin{matrix} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} \end{matrix})$

と表わされる．

次に行列 $A B$ の行列式 $| A B |$ を以下のように変形する．

$| A B | = | \begin{matrix} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} \end{matrix} |$

この定理を使うと

$= | \begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{12} b_{2} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} \end{matrix} |$

更に同じ定理で式を分けると

$= | \begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{1} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{22} b_{2} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{12} b_{2} \\ a_{21} b_{1} \end{matrix} |$ $+ | \begin{matrix} a_{12} b_{2} \\ a_{22} b_{2} \end{matrix} |$

各行の共通因数を繰り出すと

$= a_{11} a_{21} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{1} \end{matrix} | + a_{11} a_{22} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} |$ $+ a_{12} a_{21} | \begin{matrix} b_{2} \\ b_{1} \end{matrix} |$ $+ a_{12} a_{22} | \begin{matrix} b_{2} \\ b_{2} \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} b_{1} \\ b_{1} \end{matrix} |, | \begin{matrix} b_{2} \\ b_{2} \end{matrix} |$ は1行と2行が等しいのでその行列式の値は $0$

また $| \begin{matrix} b_{2} \\ b_{1} \end{matrix} | = - | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} |$ より

$= a_{11} a_{22} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} | - a_{12} a_{21} | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} |$

$= (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) | \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} |$

$= | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} |$

$= | A | | B |$

以上より

$| A B | = | A | | B |$

となる．

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最終更新日： 2023年7月10日