2元1次連立方程式の解についての平面座標を用いた考察

2元1次連立方程式 　　

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\hfill \\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\hfill \end{array}\right.}$ 　 ･･････(1)

を行列を使って表わすと

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\hfill \\ x_2\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)}$ 　･･････(2)

となる．また係数行列 ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$ の列ベクトル${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)}$を使って表わすと

${\displaystyle x_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)}$ 　･･････(3)

となる．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\right)=a_1}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\right)=a_2}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{l}{b}_1\hfill \\ b_2\hfill \end{array}\right)=b}$

とおくと(3)は

${\displaystyle x_1{a}_1+x_2{a}_2=b}$　･･････(4)

と表わされる．(4)の関係を${\displaystyle xy}$ 座標を使って表現すると

 

となる．図より，平行四辺形${\displaystyle \text{OABC}}$ の面積を${\displaystyle S_0}$ ，平行四辺形${\displaystyle \text{ODEC}}$ の面積を${\displaystyle S_{x1}}$ ，平行四辺形${\displaystyle \text{OAGH}}$ の面積を${\displaystyle S_{x2}}$ ，平行四辺形${\displaystyle \text{OFJC}}$ の面積を${\displaystyle S_1}$ ，平行四辺形${\displaystyle \text{OAIF}}$ の面積を${\displaystyle S_2}$ ，と定めると，

${\displaystyle x_1=\frac{S_{x1}}{S_0}}$，${\displaystyle x_2=\frac{S_{x2}}{S_0}}$

となる．

${\displaystyle S_{x1}=S_1}$，${\displaystyle S_{x2}=S_2}$

より

${\displaystyle x_1=\frac{S_1}{S_0}}$，${\displaystyle x_2=\frac{S_2}{S_0}}$

となる．${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ は面積比となっている．

平行四辺形の面積は行列式を使って求めることができ，

${\displaystyle S_0=\left|\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}$

${\displaystyle S_1=\left|\left(\begin{array}{cc}b& a_2\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}$

${\displaystyle S_2=\left|\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}$

となる．

したがって

${\displaystyle x_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}}$ ，${\displaystyle x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}}$

となる．これらの解を表わす式はクラメルの公式になっている．

 

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最終更新日： 2023年12月4日