a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ・・・・・・(1) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 ・・・・・・(2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 ・・・・・・(3)
x 3 を消去する.
(1)× a 23 a 11 a 23 x 1 + a 12 a 23 x 2 + a 13 a 23 x 3 = a 23 b 1 ・・・・・・(4)
(2)× a 13 a 13 a 21 x 1 + a 13 a 22 x 2 + a 13 a 23 x 3 = a 13 b 2 ・・・・・・(5)
(4)−(5) ( a 11 a 23 − a 13 a 21 ) x 1 +( a 12 a 23 − a 13 a 22 ) x 2 = a 23 b 1 − a 13 b 2 ・・・・・・(6)
(1)× a 33 a 11 a 33 x 1 + a 12 a 33 x 2 + a 13 a 33 x 3 = a 33 b 1 ・・・・・・(7)
(3)× a 13 a 13 a 31 x 1 + a 13 a 32 x 2 + a 13 a 33 x 3 = a 13 b 3 ・・・・・・(8)
(7)−(8) ( a 11 a 33 − a 13 a 31 ) x 1 +( a 12 a 33 − a 13 a 32 ) x 2 = a 33 b 1 − a 13 b 3 ・・・・・・(9)
x 2 を消去する.
(6)× ( a 12 a 33 − a 13 a 32 ) −(9)× ( a 12 a 23 − a 13 a 22 )
{ ( a 12 a 33 − a 13 a 32 )( a 11 a 23 − a 13 a 21 )−( a 12 a 23 − a 13 a 22 )( a 11 a 33 − a 13 a 31 ) } x 1 =( a 12 a 33 − a 13 a 32 )( a 23 b 1 − a 13 b 2 )−( a 12 a 23 − a 13 a 22 )( a 33 b 1 − a 13 b 3 )
x 1 の係数
a 12 a 33 a 11 a 23 − a 12 a 33 a 13 a 21 − a 13 a 32 a 11 a 23 + a 13 a 32 a 13 a 21 − a 12 a 23 a 11 a 33 + a 12 a 23 a 13 a 31 + a 13 a 22 a 11 a 33 − a 13 a 22 a 13 a 31
=− a 12 a 13 a 21 a 33 − a 11 a 13 a 23 a 32 + a 13 a 13 a 21 a 32 + a 12 a 13 a 23 a 31 + a 11 a 13 a 22 a 33 − a 13 a 13 a 22 a 31
= a 13 ( a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 )
定数項
a 12 a 33 a 23 b 1 − a 12 a 33 a 13 b 2 − a 13 a 32 a 23 b 1 + a 13 a 32 a 13 b 2 − a 12 a 23 a 33 b 1 + a 12 a 23 a 13 b 3 + a 13 a 22 a 33 b 1 − a 13 a 22 a 13 b 3
=− a 12 a 13 a 33 b 2 − a 13 a 23 a 32 b 1 + a 13 a 13 a 32 b 2 + a 12 a 13 a 23 b 3 + a 13 a 22 a 33 b 1 − a 13 a 13 a 22 b 3
= a 13 ( a 22 a 33 b 1 − a 23 a 32 b 1 + a 13 a 32 b 2 − a 12 a 33 b 2 + a 12 a 23 b 3 − a 13 a 22 b 3 )
よって,整理すると
x 1 = a 13 a 22 a 33 b 1 − a 23 a 32 b 1 + a 13 a 32 b 2 − a 12 a 33 b 2 + a 12 a 23 b 3 − a 13 a 22 b 3 a 13 a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
= b 1 a 22 a 33 − b 1 a 23 a 32 + b 2 a 13 a 32 − b 2 a 12 a 33 + b 3 a 12 a 23 − b 3 a 13 a 22 a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
行列式を用いて表すと
x 1 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
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最終更新日: 2022年10月18日