線形写像

${\displaystyle m}$ 次元ベクトル空間 ${\displaystyle X}$ の要素 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)}$

に対して， ${\displaystyle n\times m}$ 行列である ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)}$

を ${\displaystyle x}$ の右からかけて， ${\displaystyle n}$ 次元ベクトル空間 ${\displaystyle Y}$ の要素 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)}$

に対応させる写像 ${\displaystyle f}$ を線形写像という．

すなわち

${\displaystyle f\left(x\right)=Ax}$

となる．

行列 ${\displaystyle A}$ のことを線形写像 ${\displaystyle f}$ の表現行列という．

写像 ${\displaystyle f}$ が線形写像である， ${\displaystyle f\left(x\right)=Ax}$ となる，ための必要十分条件は， ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ が ${\displaystyle X}$ の要素で， ${\displaystyle k}$ がスカラーであるとき

(1) ${\displaystyle f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}$

(2) ${\displaystyle f\left(kx\right)=kf\left(x\right)}$

の2式を満たすことである．  ⇒ 証明

 

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最終更新日： 2025年1月17日