基底の変換 (transformation of basis)

${\displaystyle n}$ 次元実ベクトル空間 ${\displaystyle R^n}$ の任意のベクトル ${\displaystyle a}$ が， ${\displaystyle R^n}$ のある基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}}$ を用いて

${\displaystyle a=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n}$

と表されるとする．このベクトル ${\displaystyle a}$ が， ${\displaystyle R^n}$ の別の基底 ${\displaystyle \left\{v_1^{\prime },v_2^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }\right\}}$ を用いて，

${\displaystyle a=a_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+a_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+\cdots +a_n^{\prime }{v}_n^{\prime }}$

と表されるとき，行列 ${\displaystyle T={\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}{v}_1^{\prime }& v_2^{\prime }& \cdots & v_n^{\prime }\end{array}\right)}$ とすると，これらの係数の間には1次変換

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ ⋮\\ a_n^{\prime }\end{array}\right)=T^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$

の関係がある．また，線形写像 ${\displaystyle f:R^n\to R^n}$ によって ${\displaystyle b=f(a)}$ と変換されるとき，基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}}$ における ${\displaystyle f}$ の表現行列を ${\displaystyle A}$ とすると，

${\displaystyle b=b_1{v}_1+b_2{v}_2+\cdots +b_n{v}_n}$ ${\displaystyle =b_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+b_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+\cdots +b_n^{\prime }{v}_n^{\prime }}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$       ⇔       ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{b}_1^{\prime }\\ b_2^{\prime }\\ ⋮\\ b_n^{\prime }\end{array}\right)=T^{-1}AT\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ ⋮\\ a_n^{\prime }\end{array}\right)}$

の関係がある．

以上のことから，基底の変換

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}{v}_1^{\prime }& v_2^{\prime }& \cdots & v_n^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)T}$

により，基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}}$ において成分表示で ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$ と表されるベクトルは，別の基底 ${\displaystyle \left\{v_1^{\prime },v_2^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }\right\}}$ においては成分表示で ${\displaystyle T^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$ と表され，基底 ${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}}$ における線形写像の表現行列 ${\displaystyle A}$ は，基底 ${\displaystyle \left\{v_1^{\prime },v_2^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }\right\}}$ において ${\displaystyle T^{-1}AT}$ と表されることがわかる．

基底	${\displaystyle \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}}$	${\displaystyle \left\{v_1^{\prime },v_2^{\prime },\cdots ,v_n^{\prime }\right\}}$
変換行列	${\displaystyle T={\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}{v}_1^{\prime }& v_2^{\prime }& \cdots & v_n^{\prime }\end{array}\right)}$
ベクトルの 成分表示	${\displaystyle a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$	${\displaystyle a=\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ ⋮\\ a_n^{\prime }\end{array}\right)=T^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$
1次変換	${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)}$	${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{b}_1^{\prime }\\ b_2^{\prime }\\ ⋮\\ b_n^{\prime }\end{array}\right)=T^{-1}AT\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ ⋮\\ a_n^{\prime }\end{array}\right)}$

詳しい解説

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最終更新日： 2023年2月9日