sgnの定義

置換 ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill i_1\hfill & \hfill i_2\hfill & \hfill i_3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill i_n\hfill \end{array}\right)}$ において

(1) 偶置換のとき　${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{ccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill i_1\hfill & \hfill i_2\hfill & \hfill i_3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill i_n\hfill \end{array}\right)=+1}$

 (2)奇置換のとき　${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{ccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill i_1\hfill & \hfill i_2\hfill & \hfill i_3\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill i_n\hfill \end{array}\right)=-1}$

とする．

■置換の性質

ある置換とその逆置換の ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ の値は等しい．すなわち，

${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill n\hfill \\ \hfill k_1\hfill & \hfill k_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill k_n\hfill \end{array}\right)}$${\displaystyle =sgn\left(\begin{array}{cccc}\hfill k_1\hfill & \hfill k_2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill k_n\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill n\hfill \end{array}\right)}$ 　　　　　(詳細についてはここを参照）

 

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最終更新日： 2025年1月17日