置換の性質  
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置換の性質

ある置換とその逆置換 sgn の値は等しい.すなわち,

sgn( 1 2 n k 1 k 2 k n )=sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n )

■導出

置換 ( 1 2 n k 1 k 2 k n ) i 個の互換の積で表わせるとする.また,置換 ( k 1 k 2 k n 1 2 n ) j 個の互換の積で表わせるとする.上の2つの置換の積

( 1 2 n k 1 k 2 k n )( k 1 k 2 k n 1 2 n )=( 1 2 n 1 2 n )

となる.左辺の置換の積は i+j 個の互換の積で表わされ,右辺の置換は恒等置換(単位置換)であるので偶置換である.よって i+j は偶数である.したがって, i が奇数の時, j も奇数となり

sgn( 1 2 n k 1 k 2 k n )=sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n )=1

となる. i が偶数の時, j も偶数となり

sgn( 1 2 n k 1 k 2 k n )=sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n )=1

となる.以上より,

sgn( 1 2 n k 1 k 2 k n )=sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n )

が常に成り立つ.

 

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最終更新日: 2015年9月24日

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