置換の性質
ある置換とその逆置換の
sgn
の値は等しい．すなわち，
sgn(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)=sgn(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)
■導出
置換
(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)
が
i
個の互換の積で表わせるとする．また，置換
(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)
が
j
個の互換の積で表わせるとする．上の2つの置換の積は
(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)=(
1
2
⋯
n
1
2
⋯
n
)
となる．左辺の置換の積は
i+j
個の互換の積で表わされ，右辺の置換は恒等置換(単位置換)であるので偶置換である．よって
i+j
は偶数である．したがって，
i
が奇数の時，
j
も奇数となり
sgn(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)=sgn(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)=−1
となる．
i
が偶数の時，
j
も偶数となり
sgn(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)=sgn(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)=1
となる．以上より，
sgn(
1
2
⋯
n
k
1
k
2
⋯
k
n
)=sgn(
k
1
k
2
⋯
k
n
1
2
⋯
n
)
が常に成り立つ．
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最終更新日：
2015年9月24日
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