置換の積

置換${\displaystyle A}$を行った後，置換${\displaystyle B}$を行うことを置換の積といい${\displaystyle AB}$で表す．
（ただし，写像の合成の考え方から${\displaystyle A}$と${\displaystyle B}$の順序を入れ替えて${\displaystyle BA}$と定義している場合も多い）

本ページでは${\displaystyle AB}$（${\displaystyle A}$ を先に、${\displaystyle B}$ を後に作用させる）を採用している．

例えば

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)}$，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)}$

の場合

${\displaystyle AB=\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 1\hfill & 3\hfill \end{array}\right)}$

と表す．

置換の積${\displaystyle AB}$によって

1は置換${\displaystyle A}$により ${\displaystyle 1\to 2}$ に対応し，置換${\displaystyle B}$により ${\displaystyle 2\to 1}$  に対応する．

2は置換${\displaystyle A}$により ${\displaystyle 2\to 3}$   に対応し，置換${\displaystyle B}$により ${\displaystyle 3\to 3}$  に対応する．

3は置換${\displaystyle A}$により ${\displaystyle 3\to 1}$  に対応し，置換${\displaystyle B}$により ${\displaystyle 1\to 2}$  に対応する．

すなわち，

${\displaystyle 1\stackrel{A}{\to }2\stackrel{B}{\to }1}$ ，${\displaystyle 2\stackrel{A}{\to }3\stackrel{B}{\to }3}$ ，${\displaystyle 3\stackrel{A}{\to }1\stackrel{B}{\to }2}$

に対応する．

式で表すと，

${\displaystyle AB}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)}$

置換${\displaystyle B}$の上段の並びを，置換${\displaystyle A}$の下段の並びに合わせる．(置換の相等)

${\displaystyle =\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

置換の積${\displaystyle AB}$は置換${\displaystyle A}$の赤色の行を上段に，置換 ${\displaystyle B}$の緑色の行を下段に書いたものになる．

${\displaystyle =\left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

　

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最終更新日： 2026年8月4日