転置行列の証明2

(A+B)t=At+Bt

行列 A=( a ij ) 転置行列を行列 C=( c ji )

行列 B=( b ij ) の転置行列を行列 D=( d ji ) とする.

また, A+B=E=( e ij ) とし,

行列 E=( e ij ) の転置行列を F =( f ji ) とする.

式で表すと

A t =C B t =D E t =F

となる.行列の各成分では

a ji = c ij b ji = d ij e ji = f ij e ij = a ij + b ij

の関係となる.したがって

( A+B ) t =E t

=F

=( f ji )

f ji = e ij = a ij + b ij = c ji + d ji より

=( c ji + d ji )

行列の和の定義より

=( c ji )+( d ji )

=C+D

= A t + B t

となり

( A+B ) t = A t + B t

が成り立つ.

■具体例

A=( a 11 a 12 a 21 a 22 ) B=( b 11 b 12 b 21 b 22 )

とする.

( A + B ) t = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + a 21 a 22 + b 22 ) t

転置行列では行と列が入れ換わるので

= ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + a 21 a 22 + b 22 )

行列の和の定義より

=( a 11 a 22 a 12 a 22 )+( b 11 b 21 b 12 b 22 )

= A t + B t

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最終更新日: 2024年11月22日