転置行列の証明4

( AB ) t = B t A t の証明

l×m 行列 A=( a ij ) m×n 行列 B=( b jk ) 行列の積を行列 F=( f ik ) とする.

すなわち

AB= F

f ik = h=1 m a i h b h k ・・・・・・(1) 

となる.また行列 A=( a ij ) 転置行列を行列 C=( c ji ) ,行列 B=( b jk ) の転置行列を D=( d kj ) ,行列 F = ( f i k ) の転置行列を G = ( g k i ) とする.

すなわち

c ji = a ji  ・・・・・・(2)

d kj = b jk  ・・・・・・(3)

g k i = f i k  ・・・・・・(4)

とする.

以上のように定めると

( AB ) t = F t

=G ・・・・・・(5) 

また

B t A t =DC

行列の積の行列の積の定義より

=( h=1 m d k h c hi )

(2),(3)より

=( k=1 m b hk a ih )

積は交換方法則が成り立つので b h k a i h = a i h b h k となる.よって

=( k=1 m a ih b h k )

k = 1 m a i h b h k = f i k = g k i より

=( g ki )

=G ・・・・・・(6) 

が導かれる.

(5),(6)より

( A B ) t = B t A t

が成り立つ.

■具体例

A=( a 11 a 12 a 21 a 22 ) B=( b 11 b 12 b 21 b 22 ) とする.

( A B ) t = ( a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 ) t

=( a 11 b 11 + a 12 b 21 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 12 + a 22 b 22 )  ・・・・・・(7)

B t A t = ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) t ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) t

=( b 11 b 21 b 12 b 22 )( a 11 a 21 a 12 a 22 )

=( b 11 a 11 + b 21 a 12 b 11 a 21 + b 21 a 12 b 12 a 11 + b 22 a 12 b 12 a 21 + b 22 a 22 )

=( a 11 b 11 + a 12 b 12 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 12 + a 22 b 22 )  ・・・・・・(8)

(7),(8)より

( AB ) t = B t A t

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最終更新日: 2024年11月22日