正規分布(normal distribution)

確率密度関数(確率分布)

f( x )= 1 2π σ e 1 2 ( xμ σ ) 2  ・・・・・・(1)

となるものを正規分布とい,確率変数 X 正規分布 N( μ, σ 2 ) に従うという.

μ 平均

μ=E X = xf x dx = x 1 2π σ e 1 2 xμ σ 2 dx

σ 標準偏差で,分散 σ 2 の平方根である. σ 2

σ 2 =V X = xμ 2 f x dx = xμ 2 1 2π σ e 1 2 xμ σ 2 dx

である.

正規分布の累積分布関数

F x = x f t dt = x 1 2π σ e 1 2 tμ σ 2 dt = 1 2 1+erf xμ 2 σ 2  ・・・・・・(2)

(ただし, erf x は誤差関数で, erf x = 2 π 0 x e t 2 dt である)

である.

■標準正規分布

確率変数 X

Y= Xμ σ

により標準化することによって得られる確率密度関数

g y = 1 2π e 1 2 y 2  ・・・・・・(3)

標準正規分布といい,確率変数 Y 正規分布 N 0,1 に従うという.

E Y =0 V Y =1

標準正規分布の累積分布関数

G y = y f t dt = y 1 2π e 1 2 t 2 dt = 1 2 1+erf y 2  ・・・・・・(4)

である.

(1)を標準化することで(3)を導いてみる.(1)は確率密度関数なので

1 2π σ e 1 2 xμ σ 2 dx =1  ・・・・・・(3)

となっている.(3)の左辺の積分を y= xμ σ とおいて置換積分をしてみる.

dy dx = 1 σ dx=σdy

x: のとき y:

より

1 2π σ e 1 2 y 2 σdy = 1 2π e 1 2 y 2 dy

となる.積分変数を置換しても定積分の値はかわらないので

1 2π e 1 2 y 2 dy =1  ・・・・・・(4)

の関係が得られる.(4)は確率密度関数が満たす式であるので,左辺の積分の被積分関数は確率密度関数であり,(2)が得られる.

■参考

二項分布 B N,p r において

t= r m r σ r

とおき N にすると,tの分布は N 0,1 に近づく.

こはりあきひろ

のように,二項分布から正規分布の確率密導関数は導かれている.

■二項分布と正規分布の関係

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■正規分布の性質

X Y が互いに独立な確率変数で,それぞれ正規分布

N ( μ 1 , σ 1 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 2 )

に従うときは, X + Y は正規分布

N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 )

に従う.

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最終更新日: 2024年2月16日