ハット行列の性質

ハット行列 ${\displaystyle H}$ は

${\displaystyle H=X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X}$

で定義されている（行列 ${\displaystyle X}$ については線形重回帰分析における残差平方和の期待値を参照）．

■性質

• ${\displaystyle {}^{t}H=H}$   ( ${\displaystyle H}$ ：対称行列)

  ●証明

  ${\displaystyle {}^{t}H={}^t\left\{X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X\right\}}$

  ${\displaystyle =X{}^t\left\{X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}\right\}}$

  ${\displaystyle =X{}^t\left\{{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}\right\}{}^{t}X}$

  転置行列の逆行列の性質 ${\displaystyle {}^t\left(A^{-1}\right)={\left({}^{t}A\right)}^{-1}}$ より

  ${\displaystyle =X{\left\{{}^t\left({}^{t}XX\right)\right\}}^{-1}{}^{t}X}$

  ${\displaystyle {}^t\left({}^{t}XX\right)={}^{t}X{}^t\left({}^{t}X\right)={}^{t}XX}$ より

  ${\displaystyle =X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X}$

  ${\displaystyle =H}$

• ${\displaystyle H^2=H}$   ( ${\displaystyle H}$ ：冪等行列)

  ●証明

  ${\displaystyle H^2=\left\{X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X\right\}\left\{X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X\right\}}$

  ${\displaystyle =X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}XX{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X}$

  ${\displaystyle =X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}\left({}^{t}XX\right){\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X}$

  ${\displaystyle =X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}I{}^{t}X}$

  ${\displaystyle =X{\left({}^{t}XX\right)}^{-1}{}^{t}X}$

  ${\displaystyle =H}$

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　最終更新日： 2026年7月10日