信頼区間 — 区間推定の被覆シミュレーター

1 このアプリは何をするもの？

母集団が正規分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ に従うとき，そこから大きさ $n$ の標本をくり返し抽出し， 標本ごとに 母平均 $\mu$ の信頼区間 と 母分散 ${\sigma }^2$ の信頼区間 を作成するシミュレータである．

信頼区間は標本を取り直すたびに位置も幅も変わり，真の値（母数）を含んだり外したりする． 本アプリは試行を何百回・何千回とくり返すことで， 「区間が真の値を外す割合」が有意水準 $\alpha$ （＝1−信頼係数）に一致することを， 集計値とグラフの両方で確かめられます．

2 画面の構成

3 使い方（操作手順）

4 学ぶ内容 ― 信頼区間の作り方

$n$ 個の標本 ${\displaystyle x_1,\cdots ,x_n}$ を ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ から取り出し，母平均 $\mu$ と母分散 ${\sigma }^2$ の信頼係数 ${\displaystyle \gamma =1-\alpha }$ の区間を作ります． ${\displaystyle \overline{x}}$ は標本平均， ${\displaystyle s^2}$ は不偏分散 $\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)$ である．

(1) 母平均 $\mu$ の区間推定 ― $t$ 分布

母分散が未知なので不偏分散 $s^2$ を使う． 統計量 $\frac{\overline{x}-\mu }{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}$ が自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従うことを利用し，下限 ${\displaystyle {\theta }_l}$ ，上限 ${\displaystyle {\theta }_u}$ を求める．

(2) 母分散 ${\sigma }^2$ の区間推定 ― ${\chi }^2$ 分布

$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{{\sigma }^2}$ が自由度 ${\displaystyle n-1}$ のカイ二乗分布に従うことを利用する． 平方和 $\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2=\left(n-1\right)s^2$ を ${\displaystyle {\chi }^2}$ の分位点で割って下限 ${\varphi }_l$ ，上限 ${\varphi }_u$ を求める．

大きい分位点 ${\chi }_{n-1}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ で割ると小さい下限 ${\varphi }_l$ に，小さい分位点 ${\chi }_{n-1}^2\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)$ で割ると大きい上限 ${\varphi }_u$ になる点に注意しましょう （割る値が大きいほど商は小さくなる）．

5「区間外の割合」が意味すること

このアプリの核心は，信頼区間の正しい解釈を体験で理解することです．

信頼係数95%の信頼区間とは，「真の値がこの区間に入る確率が95%」という意味ではない． 真の値 $\mu$ は動かない定数で，動くのは標本ごとに変わる区間のほうある．正しくは次の意味である．

裏返せば，約 $\alpha$ の区間は真の値を外す．信頼係数95%なら $\alpha =0.05$ ，すなわち約5%の区間が母数を外す． アプリの「平均，分散の信頼区間外の割合」が，試行を重ねるほど $\alpha$ に近づくことがこの事実の実証である．

6 グラフの読み方

4つのグラフはいずれも横軸が「試行（直近100件）」である．凡例の色は次の意味である．

• 青い縦線：真の値を含む信頼区間
• 赤い縦線：真の値を外した信頼区間
• 赤い破線：母数（真の値）$\mu$ または ${\sigma }^2$
• 青い点・線：各試行の推定量（標本平均・不偏分散）

① 母平均の信頼区間 ／ ② 母分散の信頼区間

試行ごとの区間 $\left[{\theta }_l,{\theta }_u\right]$ ・$\left[{\varphi }_l,{\varphi }_u\right]$ を縦線で描き，赤い破線（真の値）をまたいでいれば青，外れていれば赤で示す． 赤い縦線がおよそ100本に5本の割合で現れることを目で確認できる．

③ 標本平均の推定 ／ ④ 不偏分散の推定

各試行の ${\displaystyle \overline{x}}$ ，${\displaystyle s^2}$ の推移を折れ線で表示す．値は赤い破線（$\mu$ や${\sigma }^2$ ）のまわりを上下にばらつくが， 多数の試行での平均は真の値に一致する（集計カードの「標本平均の平均」「不偏分散の平均」で確認）．

7 おすすめの観察テーマ

• 収束を見る： ＋100 → ＋1000 と積み増し，「区間外の割合」が 0.05 に近づく様子を観察する．
• 信頼係数を変える： 95% → 90% → 99% と変えて，区間の幅と「区間外の割合（≈0.10, 0.01）」がどう変わるか比べる．信頼係数を上げると区間は広く，外す割合は小さくなる．
• 標本数 n を変える： $n=5$ と $n=50$ で母平均の区間の幅を比較．$n$ が大きいほど $\sqrt{\frac{S^2}{n}}$ が小さくなり区間が狭く（精度が高く）なる．
• 平均と分散を比べる： 母分散の区間（②）赤い点線に対して非対称で，母平均の区間（①）より幅が広く不安定なことを確認する．
• 1回ずつ見る： ＋1 を連打し，赤い区間（外れ）がときどき現れることを体感する．どの区間が外れるかは事前には分からない．

8 記号・数式まとめ表

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