正規母集団の母平均μの信頼係数がγにおける信頼区間

正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本 ${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$に対して

は母平均 ${\displaystyle \mu }$の信頼係数${\displaystyle \gamma }$の信頼区間である．

ただし

${\displaystyle \alpha =1-\gamma }$：有意水準

${\displaystyle t_{n-1}\left(a\right)}$ ：自由度 ${\displaystyle n-1}$ の ${\displaystyle t}$分布において ${\displaystyle P\left(X\geqq v\right)=a}$ となる ${\displaystyle v}$ の値

${\displaystyle \overline{x}}$：平均値

$s^2$ ：不偏分散

である．

■説明

正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ に対して

${\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}$${\displaystyle \sim N\left(0,1^2\right)}$　⇒中心極限定理を参照

${\displaystyle \frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}}$ ${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)}$　⇒証明

となる．

となる．ただし

${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}}$　･･････(2)

${\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}$　･･････(3)

である．

${\displaystyle Y=\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}$ ，${\displaystyle Z=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}}$ とおくと

${\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n-1}}}=\frac{\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}{\sqrt{\frac{\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}}{\left(n-1\right)}}}}$ ${\displaystyle =\frac{\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}{\sqrt{\frac{S^2}{{\sigma }^2}}}}$ ${\displaystyle =\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}}$

は自由度 ${\displaystyle n-1}$ の ${\displaystyle t}$ 分布に従う．よって

${\displaystyle -t_{n-1}\left(\frac{\alpha }{2}\right)<\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}<t_{n-1}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

が成り立つ．

(2)，(3)の${\displaystyle X_1,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$に実現値 ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$を代入すると ${\displaystyle \overline{X}}$ は実現値 ${\displaystyle \overline{x}}$ ， ${\displaystyle S^2}$ は実現値 ${\displaystyle s^2}$ となり(4)より(1)が得られる．

　

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最終更新日： 2024年8月22日