カイ2乗分布の自由度の計算

正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本 ${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ に対して

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}}$ は自由度${\displaystyle n-1}$ の${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布

に従う．

■自由度の導出

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left\{\left(X_i-\mu \right)-\left(\overline{X}-\mu \right)\right\}}^2}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-2n{\left(\overline{X}-\mu \right)}^2}$${\displaystyle +n{\left(\overline{X}-\mu \right)}^2}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-n{\left(\overline{X}-\mu \right)}^2}$

すなわち

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}-n{\left(\overline{X}-\mu \right)}^2}$　･･････(1)

(1)の両辺を${\displaystyle {\sigma }^2}$ で割る．

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}}{{\sigma }^2}-\frac{n{\left(\overline{X}-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2}}$

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2}-{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right)}^2}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}+{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right)}^2}$　･･････(2)

(2)の左辺

${\displaystyle \frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim N\left(0,1\right)}$ 　(標準化を参照)．よって，${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)}$　･･････(3)

(2)の右辺の第2項

${\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)}$ 　(中心極限定理を参照)．よって，${\displaystyle {\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right)}^2\sim {\chi }^2\left(1\right)}$　･･････(4)

カイ2乗分布の性質

${\displaystyle Y_1\sim {\chi }^2\left(m\right)}$，${\displaystyle Y_2\sim {\chi }^2\left(n\right)}$ ⇒${\displaystyle Y_1+Y_2\sim {\chi }^2\left(m+n\right)}$　･･････(5)

(2)，(3)，(4)，(5)より

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年6月3日