カイ2乗分布

連続型確率変数 ${\displaystyle X}$ が確率密度関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\left(x>0;n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)}$

をもつとき， ${\displaystyle X}$ は自由度 $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従うという．このことを記号を用いて表すと

${\displaystyle X\sim {\chi }_n^2}$

となる(${\displaystyle X\sim {\chi }^2\left(n\right)}$としている場合もある)．

確率変数 ${\displaystyle X}$ が自由度 $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従うとき

平均： ${\displaystyle E\left(X\right)=n}$

分散： ${\displaystyle V\left(X\right)=2n}$

である．

■性質

• 確率変数 ${\displaystyle X}$ が ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$ に従うとき，確率変数 ${\displaystyle X^2}$ は自由度１の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従う．

• 確率変数 ${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ が互いに独立で，すべて ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$ に従うとき

  ${\displaystyle X_1{}^2+X_2{}^2+\cdots +X_n{}^2}$

  は自由度 $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従う．
• 確率変数 ${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ が互いに独立で，すべて ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従うとき，標準化した ${\displaystyle Y_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }}$ から成る

  ${\displaystyle Y_1{}^2+Y_2{}^2+\cdots +Y_n{}^2}$

  は自由度 $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従う．

• 確率変数 ${\displaystyle X_1}$ と ${\displaystyle X_2}$ が互いに独立で，それぞれ自由度 $m$ ， $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従うとき

  ${\displaystyle X_1+X_2}$

  は自由度 ${\displaystyle \left(m+n\right)}$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従う．

• 正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本 ${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ に対して

  ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}}$ は自由度${\displaystyle n-1}$ の${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布

  に従う．⇒ 証明

• $X$ ， $Y$ は互いに独立な確率変数で，それぞれ ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$ と自由度 ${\displaystyle n}$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従うとき

  ${\displaystyle T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}}$

  は自由度 $n$ は $t$ 分布に従う．

■ ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布の確率密度関数

右上のスライダーの○印を動かすことにより自由度 $n$ を変更することができる．

■備考

${\displaystyle P\left(X\geqq u\right)={\displaystyle {\int }_u^{\infty }f\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_u^{\infty }\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}dx}}$ ${\displaystyle =a}$

となる $u$ を ${\displaystyle {\chi }^2{}_n\left(a\right)}$ と表すことにする（${\displaystyle {\chi }_n^2\left(a\right)}$ としている場合もある）．

■Excel教材

${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布の理解を深めるための教材をマイクロソフトのExcelで作成しました．⇒Excel教材

　

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最終更新日： 2026年9月9日