正規母集団の母分散${\sigma }^2$の信頼係数がγにおける信頼区間

正規分布${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$に対して

${\displaystyle \frac{\left(n-1\right)s^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}<{\sigma }^2<\frac{\left(n-1\right)s^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)}}$　･･････(1)

は母分散${\displaystyle {\sigma }^2}$ の信頼係数${\displaystyle \gamma }$の信頼区間である．

ただし

${\displaystyle \alpha =1-\gamma }$：有意水準

${\displaystyle {\chi }_{n-1}^2\left(a\right)}$ ：自由度 $n-1$ の ${\chi }^2$ 分布において $P\left(X\geqq u\right)=a$ となる $u$ の値

$s^2$ ：不偏分散

である．

■説明

正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$ に従う母集団からの標本${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ に対して

${\displaystyle \frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}}$ ${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)}$　⇒証明

ここで，「${\displaystyle \sim {\chi }^2\left(n-1\right)}$」 は，「${\displaystyle {\chi }^2\left(n-1\right)}$ に従う」ことを意味する．

となる．ただし，確率変数 ${\displaystyle S^2}$ は

${\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}$　･･････(2)

ただし，${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}}$

で，標本の不偏分散である．

よって

が成り立つ．

${\displaystyle \frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}<{\sigma }^2<\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{n-1}^2\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)}}$　･･････(3)

(2)の${\displaystyle X_1,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$に実現値 ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ･･･ ${\displaystyle x_n}$を代入すると ${\displaystyle S^2}$ は実現値 ${\displaystyle s^2}$ （標本の不偏分散） となり(3)より(1)が得られる．

　

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最終更新日： 2024年8月22日