推定量(estimator)

母集団から大きさ${\displaystyle n}$ の標本 ${\displaystyle X_1}$ ，${\displaystyle X_2}$ ， ${\displaystyle X_3}$ ･･･ ${\displaystyle X_n}$ を取り出す．これらの標本から未知の母数 ${\displaystyle \theta }$ を与える関数

${\displaystyle \widehat{\theta }=T\left(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n\right)}$

を${\displaystyle \theta }$ の推定量という．

未知の母数${\displaystyle \theta }$の推定量 ${\displaystyle \widehat{\theta }}$ の期待値が ${\displaystyle \theta }$ と等しくなるとき，すなわち

${\displaystyle E\left(\widehat{\theta }\right)=\theta }$

が成り立つとき，${\displaystyle \widehat{\theta }}$ を不偏推定量という．

■不偏推定量の具体例

• 標本${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ に対し，母平均 ${\displaystyle \mu }$ の推定量

  ${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}}$  （ ${\displaystyle T\left(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{X}_i}$ ）

  は，${\displaystyle \mu }$ の不偏推定量である．標本平均の期待値を参照のこと．

• 標本${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$ に対し

  ${\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}}$　 (ただし，${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}}$）

  （ ${\displaystyle T\left(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}$ ）

  は母分数 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ の不偏推定量である．不偏分散を参照のこと．

　

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最終更新日： 2026年5月5日