標本平均の期待値

前提：母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．ただし，母平均を $μ$ とする．

標本平均の期待値は $μ$ となる．

■導出

母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$x_{11}$ ， $x_{12}$ ， $\dots$ ， $x_{1 n}$

2回目の試行で取り出したデータを

$x_{21}$ ， $x_{22}$ ， $\dots$ ， $x_{2 n}$

$i$ 回目の試行で取り出したデータを

$x_{i 1}$ ， $x_{i 2}$ ， $\dots$ ， $x_{i n}$

と表記する．

各試行で得られた $x_{i 1}$ ， $x_{i 2}$ ， $\dots$ ， $x_{i n}$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， $\dots$ ， $X_{n}$ とする．また，各試行の標本の平均を $μ_{i}$ とする．標本平均 $μ_{i}$ も確率変数となり，それを， $M$ で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．

試行	$X_{1}$	$X_{2}$	･･･	$X_{n}$	$M$
1回目	$x_{11}$	$x_{12}$	･･･	$x_{1 n}$	$μ_{1}$
2回目	$x_{21}$	$x_{22}$	･･･	$x_{1 n}$	$μ_{2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$i$ 回目	$x_{i 1}$	$x_{i 2}$	･･･	$x_{i n}$	$μ_{i}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
期待値	$E (X_{1})$	$E (X_{2})$	･･･	$E (X_{n})$	$E (M)$

$μ_{i} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i j}$ ･･････(1)

(1)を確率変数で表わすと

$M = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ ･･････(2)

となる．

母平均を $μ$ とすると，前提条件より

$E (X_{j}) = μ$ ･･････(3)

である．

また

$X_{1}$ ， $X_{2}$ ， $\dots$ ， $X_{n}$ は互いに独立

である．

確率変数 $M$ の期待値を，(3)の関係を用いて，母平均 $μ$ を用いて表すことを試みる．

$E (M) = E (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j})$

$= \frac{1}{n} E (\sum_{j = 1}^{n} X_{j})$ (ここを参照)

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{j})$ (ここを参照)

(3)より

$= \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} μ$

$= \frac{1}{n} n μ$

$= μ$

標本の平均の期待値は母平均と一致する．

ホーム>>カテゴリー分類>>統計>>標本平均の期待値

最終更新日： 2026年5月6日