$V (X + Y)$ $= V (X) + 2 C (X, Y) + V (Y)$

2つの確率変数 $X$ ， $Y$ について

$V (X + Y)$ $= V (X) + 2 C (X, Y) + V (Y)$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

まず

$μ = E (X + Y)$ 　･･････(2)

とおく．

分散の定義より

$V (X + Y)$ $= E ({\{(X + Y) - μ\}}^{2})$

$= E ({\{(X + Y) - μ\}}^{2})$

$= E ({(X + Y)}^{2} - 2 μ (X + Y) + μ^{2})$

$= E (X^{2} + 2 X Y + Y^{2} - 2 μ X - 2 μ Y + μ^{2})$

$= E (X^{2}) + E (2 X Y) + E (Y^{2}) + E (- 2 μ X) + E (- 2 μ Y) + E (μ^{2})$

∵ $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ 　(ここを参照)

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - 2 μ E (X) - 2 μ E (Y) + μ^{2}$

∵ $E (a X) = a E (X)$ 　(ここを参照)

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - 2 μ \{E (X) + E (Y)\} + μ^{2}$

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - 2 μ \{E (X + Y)\} + μ^{2}$

∵ (2)

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - E {(X + Y)}^{2}$

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - {\{E (X) + E (Y)\}}^{2}$

$= E (X^{2}) + 2 E (X Y) + E (Y^{2}) - {\{E (X)\}}^{2} - 2 E (X) E (Y) - {\{E (X)\}}^{2}$

$= E (X^{2}) - {\{E (X)\}}^{2} + 2 \{E (X Y) - E (X) E (Y)\} + E (Y^{2}) - {\{E (X)\}}^{2}$

∵ $V (X) = E (X^{2}) - {\{E (X)\}}^{2}$ 　(ここを参照)， $C (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ 　(ここを参照)

$= V (X) + 2 C (X, Y) + V (Y)$

最終更新日： 2024年2月24日