逆関数

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ がある．この関数においては，変数$x$ に対してただ1つの値$y$ が定まる．逆に$y$ を決めると$x$ がただ1つ定まる場合がある．この場合，$x$ は$y$  の関数となり

${\displaystyle x=g\left(y\right)}$

と表わすとする．

関数を表すとき，一般的に変数に$x$，変数$x$に対応する値に$y$ を用いるので

${\displaystyle y=g\left(x\right)}$

と書き直す．この関数${\displaystyle g\left(x\right)}$を関数${\displaystyle f\left(x\right)}$の逆関数という．逆写像参照のこと．

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ の逆関数を一般的に${\displaystyle f^{-1}\left(x\right)}$と表す．

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ において，$x$と$y$が1対1の対応になっている場合，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の逆関数${\displaystyle f^{-1}\left(x\right)}$が存在し

${\displaystyle y=f\left(x\right)\iff x=f^{-1}\left(y\right)}$

が成り立つ．

■事例

関数${\displaystyle y=2x}$ （右の図の青線）について逆関数を考えてみる．

変数$x$の値が1であれば，$y$ の値は2に定まる．逆に$y$ の値が4であれば，$x$  値は2にただ1つ定まる．すなわち，$y$ を変数として$x$  を表すと

${\displaystyle x=\frac{1}{2}y}$

となる．$x$ と$y$を入れ替えると

${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$

となり，これが，関数${\displaystyle y=2x}$の逆関数（下の図の赤線）になる．

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフとその関数の逆関数${\displaystyle y=f^{-1}\left(x\right)}$ のグラフは直線 ${\displaystyle y=x}$に関して対称である．

関数 ${\displaystyle y=x^2}$の場合は， $y$の値4に対して $x$は2と-2が対応し，1つに定まらない．よって， $x$は $y$関数とならないが， ${\displaystyle x\geqq 0}$  と定義域の範囲を定めると， $y$に対してただ1つの $x$が定まり逆関数が存在することになる．

 

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最終更新日 2023年12月5日