逆関数

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ がある．この関数においては，変数 $x$ に対してただ1つの値 $y$  が定まる．逆に $y$  を決めると $x$  がただ1つ定まる場合がある．この場合， $x$  は $y$   の関数となり

${\displaystyle x=g\left(y\right)}$

と表わすとする．

関数を表すとき，一般的に変数に $x$ ，変数 $x$ に対応する値に $y$  を用いるので

${\displaystyle y=g\left(x\right)}$

と書き直す．この関数 ${\displaystyle g\left(x\right)}$ を関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の逆関数という．逆写像参照のこと．

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の逆関数を一般的に ${\displaystyle f^{-1}\left(x\right)}$ と表す．

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ において， $x$ と $y$ が1対1の対応になっている場合，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の逆関数 ${\displaystyle f^{-1}\left(x\right)}$ が存在し

${\displaystyle y=f\left(x\right)\iff x=f^{-1}\left(y\right)}$

が成り立つ．

■事例

関数 ${\displaystyle y=2x}$  （右の図の青線）について逆関数を考えてみる．

変数 $x$ の値が1であれば， $y$  の値は2に定まる．逆に $y$  の値が4であれば， $x$  値は2にただ1つ定まる．すなわち， $y$  を変数として $x$  を表すと

${\displaystyle x=\frac{1}{2}y}$

となる． $x$  と $y$ を入れ替えると

${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$

となり，これが，関数 ${\displaystyle y=2x}$ の逆関数（下の図の赤線）になる．

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフとその関数の逆関数 ${\displaystyle y=f^{-1}\left(x\right)}$ のグラフは直線 ${\displaystyle y=x}$ に関して対称である．

関数 ${\displaystyle y=x^2}$ の場合は， $y$ の値4に対して $x$ は2と-2が対応し，1つに定まらない．よって， $x$ は $y$ 関数とならないが， ${\displaystyle x\geqq 0}$  と定義域の範囲を定めると， $y$ に対してただ1つの $x$ が定まり逆関数が存在することになる．

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>関数>>逆関数

最終更新日 2026年9月17日