$\frac{1}{x}$ のグラフ

$\frac{1}{x}$ は，反比例の基本形として使われることが多い．

グラフは以下のようになる．

$x = 0$ ， $y = 0$ が漸近線である．

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■特徴

$y = \frac{1}{x}$ のグラフは， $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ， $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ が焦点， $x$ 軸と $y$ 軸が漸近線となる双曲線である．

●確認方法1

関数 $y = \frac{1}{x}$ のグラフ上の点 $P$ の座標を $(r, s)$ とする。 $s = \frac{1}{r}$ より，点 $P$ の座標は， $(r, \frac{1}{r})$ と書き換えることができる.

点 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ を点 $F_{1}$ ，点 $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ を点 $F_{2}$ とする．

双曲線の定義より

$|F_{1} P - F_{2} P|$ ＝一定　･･････(1)

であれば，関数 $y = \frac{1}{x}$ のグラフは双曲線である．

$|F_{1} P - F_{2} P|$ $= |\sqrt{{(r - \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{1}{r} - \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(r + \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{1}{r} + \sqrt{2})}^{2}}|$

$= |\sqrt{r^{2} - 2 \sqrt{2} r + 2 + \frac{1}{r^{2}} - \frac{2 \sqrt{2}}{r} + 2} - \sqrt{r^{2} + 2 \sqrt{2} r + 2 + \frac{1}{r^{2}} + \frac{2 \sqrt{2}}{r} + 2}|$

$= |\sqrt{r^{2} + 2 + \frac{1}{r^{2}} - 2 \sqrt{2} (r + \frac{1}{r}) + 2} - \sqrt{r^{2} + 2 + \frac{1}{r^{2}} + 2 \sqrt{2} (r + \frac{1}{r}) + 2}|$

$= |\sqrt{{(r + \frac{1}{r})}^{2} - 2 \sqrt{2} (r + \frac{1}{r}) + 2} - \sqrt{{(r + \frac{1}{r})}^{2} + 2 \sqrt{2} (r + \frac{1}{r}) + 2}|$

$= = |\sqrt{{\{(r + \frac{1}{r}) - \sqrt{2}\}}^{2}} - \sqrt{{\{(r + \frac{1}{r}) + \sqrt{2}\}}^{2}}|$

$= |\{(r + \frac{1}{r}) - \sqrt{2}\} - \{(r + \frac{1}{r}) + \sqrt{2}\}|$

$= |- 2 \sqrt{2}|$

$= 2 \sqrt{2}$ 　･･････(2)

よって，(1)を満たしており， $y = \frac{1}{x}$ のグラフは双曲線である．

●確認方法2

関数 $y = \frac{1}{x}$ のグラフ上の点 $P$ の座標を $(r, s)$ とする。関数 $y = \frac{1}{x}$ のグラフを原点を中心に，時計回りに45°回転させたグラフを青線で示す.点 $P$ が回転により移った先を点 $Q$ とし，その座標を $(x, y)$ とする．

$(x, y)$ と $(r, s)$ の関係を回転行列を使って表すと

$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (- 45 °) & - \sin (- 45 °) \\ \sin (- 45 °) & \cos (- 45 °) \end{matrix}) (\begin{matrix} r \\ s \end{matrix})$

$(\begin{matrix} r \\ s \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 45 ° & - \sin 45 ° \\ \sin 45 ° & \cos 45 ° \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y \\ \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y \end{matrix})$

よって

$r = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y$ 　･･････(3)

$s = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y$ 　･･････(4)

となる．

点 $P$ が関数 $y = \frac{1}{x}$ のグラフ上の点より

$s = \frac{1}{r}$ 　･･････(5)

の関係がある.(5)に(4)，(3)を代入すし，整理する．

$\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y}$

$(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y) (\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y) = 1$

${(\frac{\sqrt{2}}{2} x)}^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} y)}^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = 1$ 　･･････(6)

の関係がえられる．この方程式は，双曲線の方程式になっていおり，青線は双曲線であることが分かる．したがって，回転移動させる前のグラフも双曲線になる．

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\frac{1}{x}

のグラフ

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月22日

1 x のグラフ

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$\frac{1}{x}$ のグラフ