内心

頂点 A の角の二等分線 ℓ と辺 BC との交点を P ，頂点B の角の二等分線 m と辺 AC との交点を Q とする．

内心 I の位置ベクトルは ${\displaystyle \overrightarrow{i}}$ は， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AI}}=t\stackrel{⟶}{\text{AP}}}$ （t：定数）より，

${\displaystyle \overrightarrow{i}-\overrightarrow{a}=t\frac{b\stackrel{⟶}{\text{AB}}+c\stackrel{⟶}{\text{AC}}}{b+c}}$   （${\displaystyle \because }$ 角の二等分線の性質と内分のベクトル表示）

整理すると，

また， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{BI}}=s\stackrel{⟶}{\text{BQ}}}$ （t：定数）より，

${\displaystyle \overrightarrow{i}-\overrightarrow{a}=s\frac{a\stackrel{⟶}{\text{BA}}+c\stackrel{⟶}{\text{BC}}}{a+c}}$   （${\displaystyle \because }$  角の二等分線の性質と内分のベクトル表示）

整理すると，

となる．式(1)と式(2)は同じ ${\displaystyle \overrightarrow{i}}$ であるので， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ の係数はお互いに等しいことより，

となる連立方程式が得られる（変数が２つであるので，３式の内１つは不要である．２式から残り１式が導かれる）．

(3)，(4)より，

${\displaystyle t=\frac{b+c}{a+b+c}}$   ･･････(6)  ， ${\displaystyle s=\frac{a+c}{a+b+c}}$   ･･････(7)

が得られる．(6)を(1)に代入すると，

${\displaystyle \overrightarrow{i}=\left(1-\frac{b+c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{a}+}$ ${\displaystyle \frac{b}{b+c}\cdot \frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle +\frac{c}{b+c}\cdot \frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{c}}$

${\displaystyle =\frac{a\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{b}+c\overrightarrow{c}}{a+b+c}}$

となり，内心の位置ベクトルが得られる．

【導出終了】（クリックで閉じる）