内心
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内心

■内心の定義

三角形の各内角の2等分線の交点

・三角形の内接円の中心

■特徴

OD=OE=OF (I:内心)

■内心のベクトル表記

BC=a CA=b AB=c  とし,頂点ABCと内心I の位置ベクトルをそれぞれ a b c i とすると,

i = a a +b b +c c a+b+c

●導出

頂点Aの角の二等分線 と辺BCとの交点をP , 頂点Bの角の二等分線m と辺ACとの交点をQとする.

内心I の位置ベクトルは i は , AI =t AP  ( t:定数) より,

i a =t b AB +c AC b+c   (  角の二等分線の性質内分のベクトル表示

i = a +t b( b a )+c( c a ) b+c  

整理すると, 

i =( 1t ) a + bt b+c b + ct b+c c   ・・・・・・@

また, BI =s BQ  ( t:定数) より,

i a =s a BA +c BC a+c   (  角の二等分線の性質内分のベクトル表示

i = a +s a( a b )+c( b b ) a+c  

整理すると, 

i = as a+c a +( 1s ) b + cs a+c c   ・・・・・・A

となる.@とAは同じ i であるので, a b c の係数はお互いに等しいことより,

{ 1t= as a+c bt b+c =1s ct b+c = cs a+c ・・・・・・B 
・・・・・・C 
・・・・・・D 
 

となる連立方程式が得られる(変数が2つであるので,3式の内1つは不要である.2式から残り1式が導かれる).

B,Cより,

t= b+c a+b+c   ・・・・・・E, s= a+c a+b+c   ・・・・・・F

が得られる.Eを@に代入すると,

i =( 1 b+c a+b+c ) a + b b+c b+c a+b+c b + c b+c b+c a+b+c c = a a +b b +c c a+b+c  

となり,内心の位置ベクトルが得られる.

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最終更新日: 2013年10月4日

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