退化円錐 (degenerate conic)

円錐曲線について，円錐の頂点を通らない切断面の場合，その切り口には楕円・放物線・双曲線が現れるが，切断面が円錐の頂点を通る場合，その切り口に現れる図形は点や直線となる．このとき，「円錐曲線は退化する」といい，この特別な場合の図形を 退化円錐 (degenerate conic) という．

円錐の母線と円錐の軸とのなす角を ${\displaystyle \theta }$ ，円錐の頂点を通る切断面と円錐の軸とのなす角を ${\displaystyle \varphi }$ とすると，以下の関係により退化円錐は

• ${\displaystyle \varphi >\theta }$    ${\displaystyle \iff }$    点 （切断面が円錐の頂点のみと交わる）
• ${\displaystyle \varphi =\theta }$    ${\displaystyle \iff }$    1つの直線 （切断面が円錐の母線と平行）
• ${\displaystyle \varphi <\theta }$    ${\displaystyle \iff }$    交差する2つの直線 （双曲線の漸近線）

となる．

円錐曲線は2次曲線を表すので，退化円錐を退化2次曲線ともいう．2次曲線として考えた場合，ある退化条件においては，上記の他に平行な2つの直線も現れる．

2次曲線を表す式

${\displaystyle a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f=0}$ ,   ${\displaystyle (a,b,c)\ne (0,0,0)}$

において，判別式

のとき，2次曲線は退化する（2次曲線の標準化），また，判別式 ${\displaystyle \Delta =ac-b^2=0}$ と ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ が同時に成り立つとき，平行な2直線となる．

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最終更新日：2025年10月14日