2次曲線の標準化 (Normalization of quadratic curves)

判別式 ${\displaystyle \Delta \ne 0}$ のとき ${\displaystyle A}$ の固有値 ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ は ${\displaystyle 0}$ でない実数となり，式の2次曲線は有心である．その中心の座標を ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ とすると，座標変換

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={}^{t}P\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)}$     ······ 

により，式は原点を中心とした標準形

${\displaystyle {\lambda }_1{X}^2+{\lambda }_2{Y}^2+u(x_0,y_0)=0}$     ······ 

に変換される．ここで，中心座標は

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=-A^{-1}\left(\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right)}$     ······ 

で得られ， ${\displaystyle u(x_0,y_0)=\frac{\tilde{\Delta }}{\Delta }}$ である．

また，判別式 ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ の場合（ ${\displaystyle u(x_0,y_0)=0}$ ），2次曲線は退化する．

• ${\displaystyle \Delta ={\lambda }_1{\lambda }_2>0}$ のとき ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ は同符号であり，
  • ${\displaystyle {\lambda }_1}$ と ${\displaystyle \tilde{\Delta }}$ が異符号ならば

    ${\displaystyle {\alpha }^2=-\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_1}}$ ,   ${\displaystyle {\beta }^2=-\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_2}}$     ······ 

    とおいて，式を楕円の標準形

    ${\displaystyle \frac{X^2}{{\alpha }^2}+\frac{Y^2}{{\beta }^2}=1}$     ······ 

    で表すことができる． ${\displaystyle |{\lambda }_1|<|{\lambda }_2|}$ なら横長（ ${\displaystyle X}$ 軸上に焦点が存在），${\displaystyle |{\lambda }_1|>|{\lambda }_2|}$ なら縦長（ ${\displaystyle Y}$ 軸上に焦点が存在），${\displaystyle {\lambda }_1={\lambda }_2}$ なら円となる．
  • ${\displaystyle {\lambda }_1}$ と ${\displaystyle \tilde{\Delta }}$ が同符号ならば

    ${\displaystyle {\alpha }^2=\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_1}}$ ,   ${\displaystyle {\beta }^2=\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_2}}$     ······ 

    とおいて，式を

    ${\displaystyle \frac{X^2}{{\alpha }^2}+\frac{Y^2}{{\beta }^2}=-1}$     ······ 

    と表すことができるが，式を満たす点は存在しない（実平面状で図形が描けない）．
  • ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ ならば，2次曲線は退化し

    ${\displaystyle {\alpha }^2=\left|{\lambda }_2\right|}$ ,   ${\displaystyle {\beta }^2=\left|{\lambda }_1\right|}$     ······ 

    とおいて，式を

    ${\displaystyle \frac{X^2}{{\alpha }^2}+\frac{Y^2}{{\beta }^2}=0}$     ······ 

    と表すことができ，これを満たす点は原点 ${\displaystyle (0,0)}$ のみである．
    ${\displaystyle u(x_0,y_0)=0}$ より，式においては中心点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ を表す．


• ${\displaystyle \Delta ={\lambda }_1{\lambda }_2<0}$ のとき ${\displaystyle {\lambda }_1}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2}$ は異符号であり，
  • ${\displaystyle \tilde{\Delta }\ne 0}$ ならば

    ${\displaystyle {\alpha }^2=\left|\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_1}\right|}$ ,   ${\displaystyle {\beta }^2=\left|\frac{u(x_0,y_0)}{{\lambda }_2}\right|}$     ······ 

    とおいて，式は双曲線の標準形

    ${\displaystyle \frac{X^2}{{\alpha }^2}-\frac{Y^2}{{\beta }^2}=\pm 1}$     ······ 

    で表すことができる． ${\displaystyle {\lambda }_1}$ と ${\displaystyle \tilde{\Delta }}$ が異符号ならば上式右辺が $+1$ となって横向き（ ${\displaystyle X}$ 軸上に焦点が存在），同符号ならば $-1$ となって縦向き（ ${\displaystyle Y}$ 軸上に焦点が存在）になる．
  • ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ ならば，2次曲線は退化し，式のようにおいて，式は

    ${\displaystyle \frac{X^2}{{\alpha }^2}-\frac{Y^2}{{\beta }^2}=0}$     ······ 

    となる．したがって，原点で交わる2直線

    ${\displaystyle Y=\pm \left|\frac{\beta }{\alpha }\right|X=\pm \sqrt{-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}}X}$     ······ 

    となる（双曲線の漸近線に相当）．
    ${\displaystyle u(x_0,y_0)=0}$ より，式においては中心点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ を交点とする2直線を表す．

判別式 ${\displaystyle \Delta =0}$ のとき ${\displaystyle A}$ の固有値は ${\displaystyle {\lambda }_1=0}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2=\lambda =a+c\ne 0}$ となり，式の2次曲線は無心である．このとき

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=-\frac{1}{\lambda }\left(\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right)}$     ······ 

で得られる点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ を用いた座標変換

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={}^{t}P\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)}$     ······ 

により，式は標準形

${\displaystyle \lambda Y^2-2gX+u(x_0,y_0)=0}$     ······ 

に変換される．ここで

${\displaystyle g=\frac{ae-bd}{\sqrt{a^2+b^2}}}$     ······ 

である．判別式 ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ の場合（ ${\displaystyle g=0}$ ），2次曲線は退化する．

また， ${\displaystyle A}$ の固有値を ${\displaystyle {\lambda }_1=\lambda =a+c\ne 0}$ , ${\displaystyle {\lambda }_2=0}$ と設定すると，式は

${\displaystyle \lambda X^2+2gY+u(x_0,y_0)=0}$     ······ 

となる（ ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ が入れ替わり，${\displaystyle Y}$の項の符号は ${\displaystyle +}$ となる ）．

• ${\displaystyle g\ne 0}$ のとき（ ${\displaystyle \tilde{\Delta }\ne 0}$ ），式を

  ${\displaystyle Y^2=\frac{2g}{\lambda }(X-\frac{u(x_0,y_0)}{2g})}$     ······ 

  と変形し， ${\displaystyle 4p=\frac{2g}{\lambda }}$ として， ${\displaystyle X-\frac{u(x_0,y_0)}{2g}}$ を改めて ${\displaystyle X}$ とおくことにより，放物線の標準形

  ${\displaystyle Y^2=4pX}$     ······ 

  で表すことができる．
  ※ 点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ は，式の放物線の対称軸を通る点となっている．
• ${\displaystyle g=0}$ のとき（ ${\displaystyle \tilde{\Delta }=0}$ ），2次曲線は退化し，式は

  ${\displaystyle Y^2=-\frac{u(x_0,y_0)}{\lambda }=C}$ （定数）     ······ 

  と変形され， ${\displaystyle C\ge 0}$ なら2つの平行な直線

  ${\displaystyle Y=\pm \sqrt{C}}$     ······ 

  となる（ ${\displaystyle C=0}$ のときは重なった1つの直線 ）． ${\displaystyle C<0}$ なら，この式を満たす点は存在しない（実平面上で図形が描けない）．
  ※ 点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$ は，式の平行な2直線の対称軸に原点から垂線を下したときの交点である．